верхняя шапка
help
help
help
реклама
MATHM >> ОГЭ >>
Задача 25
картинка

ЗАДАЧА 25
сортировка
по сложности
ЗАДАЧА 25
сортировка
по темам

ЗАДАЧА 25
ОГЭ

СПИСОК ТЕМ
Тема 0: Примеры реальных задач
Тема 1: Треугольники
Тема 2: Окружности
Тема 3: Четырехугольники и т.д.

Задачи разделены на темы. Задачи из любой темы вполне реально встретить на настоящем экзамене ЕГЭ. Внутри каждой темы задачи мы постарались расположить по возрастанию сложности.

Тема 0: Примеры реальных задач

  1. Задача реального ОГЭ 2023 по математике (Аналог реального ОГЭ 2023) Окружности радиусов 45 и 55 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D  – на второй окружности. При этом AC и BD  – общие касательные этих окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.
    2. посмотреть ответ
    посмотреть решение




  2. (ФИПИ 2023) Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 12. Окружность радиусом 8 с центром вне этого треугольника касается продолжений боковых сторон треугольника и касается основания AC. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.
    3. посмотреть ответ
    посмотреть решение 1
    посмотреть решение 2


  3. (вариант реального ОГЭ 2022 по математике) В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 4. Найдите стороны треугольника ABC.
    4. посмотреть ответ
    посмотреть решение 1
    посмотреть решение 2


  4. (вариант реального ОГЭ 2019 по математике) Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 9 и 11  от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos⁡〖∠BAC〗=√11/6.
    5. посмотреть ответ
    посмотреть решение




Тема 1: Треугольники

  1. В прямоугольном треугольнике ABC с катетами AC=40 и CB=30 проведена высота CD. Затем в треугольнике ACD проведена высота DH. Найдите AH.
    2. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  2. В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N – середины катетов AC и BC соответственно. CH – высота, точка H делит гипотенузу AB в отношении 2:1 считая от вершины A. Пусть Q – точка пересечения прямых MH и CB, а P – точка пересечения прямых HN и AC. Найдите MQ, если MP=10.
    3. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  3. Точка K лежит на боковой стороне равнобедренного треугольника ABC с основанием BC=6 и боковой стороной AC=9. Точка K находится на расстоянии 2√2 от стороны BC. Найдите расстояние от K до AC.
    4. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  4. (вариант реального ОГЭ 2019 по математике) Медиана BM и биссектриса CP треугольника ABC пересекаются в точке K, длина стороны AC относится к длине стороны BC как 5∶7. Найдите отношение площади четырехугольника KPAM к площади треугольника ABC.
    5. посмотреть ответ
    посмотреть решение 1
    посмотреть решение 2


  5. Углы при одном основании трапеции равны 39° и 51°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 19 и 17. Найдите основания трапеции.
    6. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  6. Через середину K медианы BM треугольника ABC и вершину A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке P. Найдите отношение площадей треугольников BPK и AKM.
    7. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  7. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AK и CM. Из точки M на сторону BC опущен перпендикуляр ME, а из точки K на сторону AB опущен перпендикуляр KH. Найдите ∠EHB, если ∠CAB=68°.
    8. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  8. Биссектриса AD треугольника ABC пересекает медиану BM в точке K, при этом BD:DC=1:1,5. Найдите отношение площади треугольника ABC к площади треугольника MKA.
    9. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  9. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AK и CM. На них из точек M и K опущены перпендикуляры ME и KH соответственно. Найдите ∠OEH, если ∠BCA=65°.
    10. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  10. В прямоугольном треугольнике ABC угол A больше угла B, точки M и N – середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла A пересекает прямую MN в точке L. Найдите cos∠LCB, если cos∠CAB=11/25.
    11. посмотреть ответ
    посмотреть решение




  11. В треугольнике ABC медиана AM и биссектриса BL пересекаются в точке K и перпендикулярны. Найти площадь треугольника AKL, если AM=BL=20.
    12. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  12. В треугольнике ABC известно что ∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4. Докажите, что 1/BC=1/AC+1/AB. Используя это равенство, найдите BC, если AC=6,1 и AB=7,6. Ответ запишите в виде десятичной дроби и округлите до десятых.
    13. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  13. В остроугольном треугольнике ABC точка O - центр вписанной окружности, K - центр описанной окружности. Найдите ∠AKC, если ∠AOC=120°.
    14. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  14. В треугольнике ABC известно что ∠A=(180°)/7 и ∠B∶∠C=2∶4. Проведена BK – биссектриса угла B. Докажите, что AB=BK+BC, и найдите AB, если BK=5,5, BC=4,4.
    15. посмотреть ответ
    посмотреть решение


Тема 2: Окружности

  1. Окружность, вписанная в треугольник MNK, касается его сторон в точках A, B и C. Найдите углы треугольника MNK, если углы треугольника ABC равны 64°, 66° и 50°.
    2. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  2. Две окружности с центрами O_1 и O_2 и радиусами 10 и 15 касаются друг друга внешним образом и внутренним образом касаются окружности с центром O_3 и радиуса 30. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник O_1 O_2 O_3.
    3. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  3. В прямоугольный треугольник ABC вписана окружность, которая касается гипотенузы AC в точке M. Докажите, что отрезок BM меньше 3r – утроенного радиуса вписанной окружности и найдите длину BM, если это целое число, а r=0,8.
    4. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  4. Квадрат ABCD со стороной a вписан в окружность. Хорда CE пересекает его диагональ BD в точке K. Найдите отношение BK к KE, если ∠BKC=60°.
    5. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  5. Четырехугольник ABCD со сторонами AB=12 и CD= 30 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причем ∠AKB=60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырехугольника.
    6. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  6. В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD=20, BC=10.
    7. посмотреть ответ
    посмотреть решение




  7. Окружность радиуса R касается луча QP в точке P и пересекает луч QC в точках D и C (QD<QC). Известно, что PD=2√7, DC=16 и QP=6. Найдите радиус окружности R.
    8. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  8. Точка M лежит на стороне AD четырехугольника ABCD. Известно, что MA=MB=MC. Кроме этого, углы A, B и C четырехугольника равны соответственно 79°, 124° и 101°. Найдите длину стороны AD, если BC=10.
    9. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  9. Середина M стороны AD выпуклого четырехугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC=4, а углы B и C четырехугольника равны соответственно 126° и 99°.
    10. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  10. Окружность радиуса R касается луча QP в точке P и пересекает луч QC в точках D и C (QD<QC). Известно, что QD=4, DC=12 и cos⁡∠PQC=1/4. Найдите радиус окружности R.
    11. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  11. Основание AC равнобедренного треугольника равно 12. Окружность радиуса 12 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC
    12. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  12. Точка Q – середина стороны AD четырехугольника ABCD. Известно, что QA=QB=QC=QD и сторона BC=12. Кроме этого, углы B и C четырехугольника равны соответственно 99° и 111°. Найдите AD.
    13. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  13. Окружность радиуса R=(8√15)/15 касается луча MN в точке N и пересекает луч MQ в точках L и Q (ML<MQ). Известно, что ∠M – острый, ML=1 и sin⁡〖∠MQN〗=√15/8. Найдите LQ.
    14. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  14. На катетах AC и BC прямоугольного треугольника ABC как на диаметрах построены окружности, которые второй раз пересекаются в точке M. На меньшей дуге MB взята точка Q. Прямая CQ второй раз пересекает окружность с диаметром AC в точке P. Найдите ∠PMQ.
    15. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  15. Окружности радиусов 45 и 90 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.
    16. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  16. Окружность, проходящая через вершины B, C и D параллелограмма ABCD, касается его стороны AD=2√6 в точке D. Пусть K – вторая точка пересечения окружности и стороны AB параллелограмма. Найдите CK, если BK=2.
    17. посмотреть ответ
    посмотреть решение




Тема 3: Четырехугольники и т.д.

  1. В параллелограмме ABCD биссектрисы углов A и B пересекаются в точке K. Сторона BC параллелограмма равна 4, высота KH треугольника ABK равна 3. Найдите площадь параллелограмма ABCD.
    2. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  2. На катетах AC и BC прямоугольного треугольника ABC построены квадраты ACC_1 A_1 и BB_1 C_2 C, пересекающиеся с треугольником ABC только по сторонам AC и BC соответственно. Отрезок AB_1 пересекает катет BC в точке M, отрезок BA_1 пересекает катет AC в точке N, CM=10. Найдите CN.
    3. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  3. В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 40, а площадь равна 80, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до ее меньшего основания.
    4. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  4. Стороны ромба EFGH являются гипотенузами равнобедренных прямоугольных треугольников EAF, FBG, GCH, HDE, причем все эти треугольники имеют общие внутренние точки с ромбом EFGH. Сумма площадей четырехугольника ABCD и ромба EFGH равна 24. Найдите GH.
    5. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  5. В трапеции ABCD отношение оснований BC:AD=2:3. Через точку O – точку пересечения диагоналей трапеции – проведен отрезок EF, параллельный основаниям, причем точка E лежит на стороне AB, а точка F – на стороне CD. Найдите отношение площадей S_AEFD:S_EBCF.
    6. посмотреть ответ
    посмотреть решение


нижняя шапка