верхняя шапка
help
help
help
реклама
MATHM >> ОГЭ >>
Задача 25
картинка

ЗАДАЧА 25
сортировка
по сложности
ЗАДАЧА 25
сортировка
по темам

ЗАДАЧА 25
ОГЭ

СПИСОК ТЕМ
Тема 0: Примеры реальных задач
Тема 1: Треугольники
Тема 2: Окружности
Тема 3: Четырехугольники и т.д.

Задачи разделены на темы. Задачи из любой темы вполне реально встретить на настоящем экзамене ЕГЭ. Внутри каждой темы задачи мы постарались расположить по возрастанию сложности.

Тема 0: Примеры реальных задач

  1. (номер задачи в базе 3025-41)

    Задача реального ОГЭ 2024 по математике (Аналог реального ОГЭ 2024) Середина M стороны AD выпуклого четырехугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC = 6, а углы B и C четырёхугольника равны соответственно 124° и 116°.
    2. посмотреть ответ
    посмотреть решение 1
    посмотреть решение 2

    подсказка




  2. (номер задачи в базе 3025-40)

    Задача реального ОГЭ 2024 по математике (Аналог реального ОГЭ 2024) В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 12. Найдите стороны треугольника ABC.
    3. посмотреть ответ
    посмотреть решение 1
    посмотреть решение 2

    подсказка


  3. (номер задачи в базе 3025-42)

    Задача реального ОГЭ 2023 по математике (Аналог реального ОГЭ 2023) Окружности радиусов 44 и 77 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D – на второй. При этом AC и BD – общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.
    4. посмотреть ответ
    посмотреть решение

    подсказка


  4. (номер задачи в базе 3025-39)

    Задача реального ОГЭ 2023 по математике (Аналог реального ОГЭ 2023) Окружности радиусов 45 и 55 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D  – на второй окружности. При этом AC и BD  – общие касательные этих окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.
    5. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  5. (номер задачи в базе 3025-35)

    (ФИПИ 2023) Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 12. Окружность радиусом 8 с центром вне этого треугольника касается продолжений боковых сторон треугольника и касается основания AC. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.
    6. посмотреть ответ
    посмотреть решение 1
    посмотреть решение 2


  6. (номер задачи в базе 3025-36)

    (вариант реального ОГЭ 2022 по математике) В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 4. Найдите стороны треугольника ABC.
    7. посмотреть ответ
    посмотреть решение 1
    посмотреть решение 2


  7. (номер задачи в базе 3025-37)

    (вариант реального ОГЭ 2019 по математике) Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 9 и 11  от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos⁡〖∠BAC〗=√11/6.
    8. посмотреть ответ
    посмотреть решение




Тема 1: Треугольники

  1. (номер задачи в базе 3025-21)

    В прямоугольном треугольнике ABC с катетами AC=40 и CB=30 проведена высота CD. Затем в треугольнике ACD проведена высота DH. Найдите AH.
    2. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  2. (номер задачи в базе 3025-12)

    В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N – середины катетов AC и BC соответственно. CH – высота, точка H делит гипотенузу AB в отношении 2:1 считая от вершины A. Пусть Q – точка пересечения прямых MH и CB, а P – точка пересечения прямых HN и AC. Найдите MQ, если MP=10.
    3. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  3. (номер задачи в базе 3025-13)

    Точка K лежит на боковой стороне равнобедренного треугольника ABC с основанием BC=6 и боковой стороной AC=9. Точка K находится на расстоянии 2√2 от стороны BC. Найдите расстояние от K до AC.
    4. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  4. (номер задачи в базе 3025-38)

    (вариант реального ОГЭ 2019 по математике) Медиана BM и биссектриса CP треугольника ABC пересекаются в точке K, длина стороны AC относится к длине стороны BC как 5∶7. Найдите отношение площади четырехугольника KPAM к площади треугольника ABC.
    5. посмотреть ответ
    посмотреть решение 1
    посмотреть решение 2


  5. (номер задачи в базе 3025-25)

    Углы при одном основании трапеции равны 39° и 51°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 19 и 17. Найдите основания трапеции.
    6. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  6. (номер задачи в базе 3025-2)

    Через середину K медианы BM треугольника ABC и вершину A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке P. Найдите отношение площадей треугольников BPK и AKM.
    7. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  7. (номер задачи в базе 3025-7)

    В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AK и CM. Из точки M на сторону BC опущен перпендикуляр ME, а из точки K на сторону AB опущен перпендикуляр KH. Найдите ∠EHB, если ∠CAB=68°.
    8. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  8. (номер задачи в базе 3025-3)

    Биссектриса AD треугольника ABC пересекает медиану BM в точке K, при этом BD:DC=1:1,5. Найдите отношение площади треугольника ABC к площади треугольника MKA.
    9. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  9. (номер задачи в базе 3025-9)

    В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AK и CM. На них из точек M и K опущены перпендикуляры ME и KH соответственно. Найдите ∠OEH, если ∠BCA=65°.
    10. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  10. (номер задачи в базе 3025-10)

    В прямоугольном треугольнике ABC угол A больше угла B, точки M и N – середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла A пересекает прямую MN в точке L. Найдите cos∠LCB, если cos∠CAB=11/25.
    11. посмотреть ответ
    посмотреть решение




  11. (номер задачи в базе 3025-4)

    В треугольнике ABC медиана AM и биссектриса BL пересекаются в точке K и перпендикулярны. Найти площадь треугольника AKL, если AM=BL=20.
    12. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  12. (номер задачи в базе 3025-17)

    В треугольнике ABC известно что ∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4. Докажите, что 1/BC=1/AC+1/AB. Используя это равенство, найдите BC, если AC=6,1 и AB=7,6. Ответ запишите в виде десятичной дроби и округлите до десятых.
    13. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  13. (номер задачи в базе 3025-6)

    В остроугольном треугольнике ABC точка O - центр вписанной окружности, K - центр описанной окружности. Найдите ∠AKC, если ∠AOC=120°.
    14. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  14. (номер задачи в базе 3025-18)

    В треугольнике ABC известно что ∠A=(180°)/7 и ∠B∶∠C=2∶4. Проведена BK – биссектриса угла B. Докажите, что AB=BK+BC, и найдите AB, если BK=5,5, BC=4,4.
    15. посмотреть ответ
    посмотреть решение


Тема 2: Окружности

  1. (номер задачи в базе 3025-1)

    Окружность, вписанная в треугольник MNK, касается его сторон в точках A, B и C. Найдите углы треугольника MNK, если углы треугольника ABC равны 64°, 66° и 50°.
    2. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  2. (номер задачи в базе 3025-5)

    Две окружности с центрами O_1 и O_2 и радиусами 10 и 15 касаются друг друга внешним образом и внутренним образом касаются окружности с центром O_3 и радиуса 30. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник O_1 O_2 O_3.
    3. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  3. (номер задачи в базе 3025-8)

    В прямоугольный треугольник ABC вписана окружность, которая касается гипотенузы AC в точке M. Докажите, что отрезок BM меньше 3r – утроенного радиуса вписанной окружности и найдите длину BM, если это целое число, а r=0,8.
    4. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  4. (номер задачи в базе 3025-11)

    Квадрат ABCD со стороной a вписан в окружность. Хорда CE пересекает его диагональ BD в точке K. Найдите отношение BK к KE, если ∠BKC=60°.
    5. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  5. (номер задачи в базе 3025-22)

    Четырехугольник ABCD со сторонами AB=12 и CD= 30 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причем ∠AKB=60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырехугольника.
    6. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  6. (номер задачи в базе 3025-26)

    В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD=20, BC=10.
    7. посмотреть ответ
    посмотреть решение




  7. (номер задачи в базе 3025-32)

    Окружность радиуса R касается луча QP в точке P и пересекает луч QC в точках D и C (QD<QC). Известно, что PD=2√7, DC=16 и QP=6. Найдите радиус окружности R.
    8. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  8. (номер задачи в базе 3025-31)

    Точка M лежит на стороне AD четырехугольника ABCD. Известно, что MA=MB=MC. Кроме этого, углы A, B и C четырехугольника равны соответственно 79°, 124° и 101°. Найдите длину стороны AD, если BC=10.
    9. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  9. (номер задачи в базе 3025-24)

    Середина M стороны AD выпуклого четырехугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC=4, а углы B и C четырехугольника равны соответственно 126° и 99°.
    10. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  10. (номер задачи в базе 3025-33)

    Окружность радиуса R касается луча QP в точке P и пересекает луч QC в точках D и C (QD<QC). Известно, что QD=4, DC=12 и cos⁡∠PQC=1/4. Найдите радиус окружности R.
    11. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  11. (номер задачи в базе 3025-27)

    Основание AC равнобедренного треугольника равно 12. Окружность радиуса 12 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC
    12. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  12. (номер задачи в базе 3025-30)

    Точка Q – середина стороны AD четырехугольника ABCD. Известно, что QA=QB=QC=QD и сторона BC=12. Кроме этого, углы B и C четырехугольника равны соответственно 99° и 111°. Найдите AD.
    13. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  13. (номер задачи в базе 3025-34)

    Окружность радиуса R=(8√15)/15 касается луча MN в точке N и пересекает луч MQ в точках L и Q (ML<MQ). Известно, что ∠M – острый, ML=1 и sin⁡〖∠MQN〗=√15/8. Найдите LQ.
    14. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  14. (номер задачи в базе 3025-14)

    На катетах AC и BC прямоугольного треугольника ABC как на диаметрах построены окружности, которые второй раз пересекаются в точке M. На меньшей дуге MB взята точка Q. Прямая CQ второй раз пересекает окружность с диаметром AC в точке P. Найдите ∠PMQ.
    15. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  15. (номер задачи в базе 3025-28)

    Окружности радиусов 45 и 90 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.
    16. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  16. (номер задачи в базе 3025-19)

    Окружность, проходящая через вершины B, C и D параллелограмма ABCD, касается его стороны AD=2√6 в точке D. Пусть K – вторая точка пересечения окружности и стороны AB параллелограмма. Найдите CK, если BK=2.
    17. посмотреть ответ
    посмотреть решение




Тема 3: Четырехугольники и т.д.

  1. (номер задачи в базе 3025-15)

    В параллелограмме ABCD биссектрисы углов A и B пересекаются в точке K. Сторона BC параллелограмма равна 4, высота KH треугольника ABK равна 3. Найдите площадь параллелограмма ABCD.
    2. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  2. (номер задачи в базе 3025-20)

    На катетах AC и BC прямоугольного треугольника ABC построены квадраты ACC_1 A_1 и BB_1 C_2 C, пересекающиеся с треугольником ABC только по сторонам AC и BC соответственно. Отрезок AB_1 пересекает катет BC в точке M, отрезок BA_1 пересекает катет AC в точке N, CM=10. Найдите CN.
    3. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  3. (номер задачи в базе 3025-23)

    В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 40, а площадь равна 80, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до ее меньшего основания.
    4. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  4. (номер задачи в базе 3025-16)

    Стороны ромба EFGH являются гипотенузами равнобедренных прямоугольных треугольников EAF, FBG, GCH, HDE, причем все эти треугольники имеют общие внутренние точки с ромбом EFGH. Сумма площадей четырехугольника ABCD и ромба EFGH равна 24. Найдите GH.
    5. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  5. (номер задачи в базе 3025-29)

    В трапеции ABCD отношение оснований BC:AD=2:3. Через точку O – точку пересечения диагоналей трапеции – проведен отрезок EF, параллельный основаниям, причем точка E лежит на стороне AB, а точка F – на стороне CD. Найдите отношение площадей S_AEFD:S_EBCF.
    6. посмотреть ответ
    посмотреть решение


нижняя шапка