верхняя шапка
реклама
MATHM >> ОГЭ >>
Задача 24
картинка
ЗАДАЧА 24
сортировка
по сложности
ЗАДАЧА 24
сортировка
по темам

ЗАДАЧА 24
ОГЭ

СПИСОК ТЕМ
Тема 0: Примеры реальных задач
Тема 1: Треугольники
Тема 2: Окружности
Тема 3: Четырехугольники и т.д.

Задачи разделены на темы. Задачи из любой темы вполне реально встретить на настоящем экзамене ЕГЭ. Внутри каждой темы задачи мы постарались расположить по возрастанию сложности.

Тема 0: Примеры реальных задач

  1. На высоте BH треугольника ABC отмечена точка M, причем AM=MC. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
    2. посмотреть решение


  2. На медиане EK треугольника EDF отмечена точка P. Докажите, что если FP=DP, то DE=FE.
    3. посмотреть решение


  3. Докажите, что биссектрисы углов при основании равнобедренного треугольника равны.
    4. посмотреть решение


Тема 1: Треугольники

  1. На высоте BH треугольника ABC отмечена точка M, причем AM=MC. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
    2. посмотреть решение


  2. На медиане EK треугольника EDF отмечена точка P. Докажите, что если FP=DP, то DE=FE.
    3. посмотреть решение


  3. Докажите, что биссектрисы углов при основании равнобедренного треугольника равны.
    4. посмотреть решение


  4. В некотором треугольнике ABC середины его сторон M, N и K соединены отрезками. Полученный треугольник MNK – равносторонний. Докажите, что ABC – также равносторонний.
    5. посмотреть решение


  5. В равнобедренном треугольнике MNK с основанием MK и внешним углом при вершине K равным 108° проведена биссектриса MD. Докажите, что треугольник MDK – равнобедренный.
    6. посмотреть решение


  6. В треугольнике ABC точки M,N и K – середины соответствующих сторон. Точки P,Q и R – середины соответствующих сторон треугольника MNK. Докажите что треугольник RPQ подобен треугольнику ABC.
    7. посмотреть решение


  7. Высоты AA_1 и BB_1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке M. Докажите, что треугольники AMB и B_1 MA_1 подобны.
    8. посмотреть решение


  8. В треугольнике ABC со стороной AB=26 проведена медиана BK=24, при этом AC=20. Докажите, что треугольник ABC – равнобедренный.
    9. посмотреть решение


  9. Два равносторонних треугольника ACO и BOD имеют общую вершину O (см. рисунок). Докажите, что отрезки AD и CB равны.
    10. посмотреть решение


  10. На гипотенузе AC прямоугольного треугольника ABC выбрана точка M так, что AM=6 и MC=8. Катет BC=11,2. Докажите, что точка M равноудалена от обоих катетов треугольника ABC.
    11. посмотреть решение


  11. Высоты AA_1 и BB_1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке M. Докажите, что углы BAA_1 и BB_1 A_1 равны.
    12. посмотреть решение


Тема 2: Окружности

  1. К двум окружностям с центрами в точках O_1 и O_2 проведены две касательные AB и CD (A,B,C,D – точки касания). При этом центры окружностей O_1 и O_2 лежат в разных полуплоскостях и относительно прямой AB и относительно прямой CD. Докажите, что AB=CD.
    2. посмотреть решение


  2. Две окружности разного радиуса имеют общий центр – точку O. Прямая пересекает обе окружности (одну в точках A и B, вторую в точках C и D) и не проходит через O. Известно, что длина AD больше длины AC. Докажите, что AC=BD.
    3. посмотреть решение


  3. Две окружности разного радиуса имеют общий центр – точку O. Прямая b пересекает большую окружность в точках A и B и касается меньшей в точке C. Докажите, что ∠AOC=∠BOC.
    4. посмотреть решение


  4. Две окружности с центрами в точках O_1 и O_2, радиусов R_1 и R_2 не имеют общих точек. Внут¬рен¬няя общая ка¬са¬тель¬ная к этим окруж¬но-стям пересекает отрезок O_1 O_2 в точке M. Докажите, что (O_1 M)/(O_2 M)=R_1/R_2 .
    5. посмотреть решение


  5. Треугольник PQR вписан в окружность с центром в точке O. Биссектриса угла P пересекается с окружностью, описанной вокруг PQR, в точке M. Докажите что MQ=MR.
    6. посмотреть решение


  6. Первая прямая пересекает окружность в двух точках A и B. Вторая прямая, параллельная первой, пересекает эту же окружность в точках C и D. Известно, что AC>AD. Докажите, что AD=BC.
    7. посмотреть решение


  7. AE – диаметр окружности с центром в точке O. Некоторая прямая a проходит через точку O и составляет 60° градусов с AE. На этой прямой a по одну сторону от точки O взяты точки B и D так, что BO>DO и BD=AO. Докажите что BO∙DO=AD^2-AO^2.
    8. посмотреть решение


  8. Две окружности с центрами в точках O_1 и O_2 пересекаются в точках A и B, причем точки O_1 и O_2 лежат по разные стороны от прямой AB. Докажите, что прямые O_1 O_2 и AB перпендикулярны.
    9. посмотреть решение


  9. В треугольнике ABC с тупым углом ACB проведены высоты AA_1 и BB_1. Докажите, что углы BA_1 B_1 и BAC равны.
    10. посмотреть решение


  10. Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. BD – биссектриса угла B, луч BD пересекается с окружностью, описанной вокруг ABC, в точке M. Докажите что OM⊥AC.
    11. посмотреть решение


  11. Две окружности радиусов r и R (r<R) касаются друг друга и сторон угла, равного 60°. Докажите, что R=3r.
    12. посмотреть решение


Тема 3: Четырехугольники и т.д.

  1. В равнобокой трапеции ABCD с основанием AD биссектрисы углов B и C пересекают AD в точках P и Q соответственно. Докажите, что BP=CQ.
    2. посмотреть решение


  2. В па¬рал¬ле¬ло¬грам¬ме ABCD точка M – се¬ре¬ди¬на сто¬ро¬ны AB. Известно, что MC=MD. Докажите, что дан¬ный па¬рал¬ле¬ло¬грамм – прямоугольник.
    3. посмотреть решение


  3. В равнобокой трапеции ABCD с большим основанием AD из вершин A и D проведены перпендикуляры к сторонам CD и AB соответственно. Точки P и Q – точки пересечения этих перпендикуляров со сторонами CD и AB соответственно. Докажите, что AP=DQ.
    4. посмотреть решение


  4. Три сто¬ро¬ны па¬рал¬ле¬ло¬грам¬ма равны. Докажите, что отрезок с кон¬ца¬ми в се¬ре¬ди¬нах про¬ти¬во¬по¬лож¬ных сто¬рон па¬рал¬ле¬ло¬грам¬ма равен чет¬вер¬ти его периметра.
    5. посмотреть решение


  5. Основания AD и BC трапеции ABCD равны 32 и 2 соответственно. Диагональ BD=8. Докажите, что треугольники ABD и DCB – подобны.
    6. посмотреть решение


  6. Докажите, что отрезок, со¬еди¬ня¬ю¬щий се¬ре¬ди¬ны ос¬но¬ва¬ний трапеции, делит её на две части, рав¬ные по пло¬ща¬ди.
    7. посмотреть решение


  7. Биссектрисы углов B и C параллелограмма ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне AD. Докажите, что точка M – середина AD.
    8. посмотреть решение


  8. В параллелограмме ABCD точка M – середина стороны AB, а N – середина CD. Известно, что MN⊥CD. Докажите, что данный параллелограмм –прямоугольник.
    9. посмотреть решение


  9. Середины сто¬рон некоторого па¬рал¬ле¬ло¬грам¬ма яв¬ля¬ют¬ся вер¬ши¬на¬ми ромба. Докажите, что параллелограмм является прямоугольником.
    10. посмотреть решение


  10. Докажите, что биссектрисы углов прямоугольника при пересечении образуют квадрат.
    11. посмотреть решение


  11. Внутри параллелограмма ABCD взята некоторая точка M. Докажите, что сумма площадей треугольников AMB и CMD равна сумме площадей треугольников BMC и AMD.
    12. посмотреть решение


  12. В па¬рал¬ле¬ло¬грам¬ме про¬ве¬де¬ны бис¬сек¬три¬сы двух про¬ти¬во¬по¬лож¬ных углов. Докажите, что от¬рез¬ки биссектрис, за¬клю¬чен¬ные внут¬ри параллелограмма, равны.
    13. посмотреть решение


  13. Сторона CD па¬рал¬ле¬ло¬грам¬ма ABCD равна 8, а сторона BC=12. Точка K делит сторону BC параллелограмма ABCD в отношении 2∶1 считая от вершины B. Докажите, что AK – бис¬сек¬три¬са угла BAD.
    14. посмотреть решение


  14. Дан пра¬виль¬ный ше¬сти¬уголь¬ник. До¬ка¬жи¬те, что если его вер¬ши¬ны со¬еди-нить последователь¬но от¬рез¬ка¬ми через одну, то по¬лу¬чит¬ся равносторон-ний тре¬уголь¬ник.
    15. посмотреть решение


  15. В трапеции ABCD боковая сторона AB=8√3, CD=8 и разность оснований равна 16. Докажите, что прямая AB перпендикулярна прямой DC.
    16. посмотреть решение


  16. В выпуклом четырехугольнике ABCD углы ABD и ACD равны. Докажите, что углы BAC и BDC также равны.
    17. посмотреть решение


  17. Дан правильный десятиугольник. До¬ка¬жи¬те, что если по¬сле¬до¬ва¬тель¬но со-еди¬нить от¬рез¬ка¬ми се¬ре¬ди¬ны его сто¬рон, то также по¬лу¬чит¬ся пра¬виль¬ный десятиугольник.
    18. посмотреть решение


  18. Дан правильный 12-угольник A_1 A_2…A_12. До¬ка¬жи¬те, что если по¬сле-до¬ва¬тель¬но со¬еди¬нить вершины с нечетными индексами (A_1 с A_3, A_3 с A_5 и т.д.), то получится правильный шестиугольник.
    19. посмотреть решение


  19. Диа¬го¬на¬ли трапеции ABCD равны a и b, а сумма оснований равна c. Докажите, что S_ABCD=2√(p(p-a)(p-b)(p-c) ), где p=1/2 (a+b+c).
    20. посмотреть решение


  20. В ост¬ро¬уголь¬ном тре¬уголь¬ни¬ке ACB четыре точки: A, C, центр опи¬сан¬ной и центр впи¬сан¬ной окруж¬но¬стей лежат на одной общей окружности. Докажите, что ∠ABC=60°.
    21. посмотреть решение


нижняя шапка