верхняя шапка
help
реклама
MATHM >> ЕГЭ >> ЕГЭ профиль >>
Задача 19
картинка

ЗАДАЧА 19
сортировка
по сложности
ЗАДАЧА 19
сортировка
по темам

ЗАДАЧА 19
егэ профиль
сортировка по сложности

Сложность 1
Сложность 2
Сложность 3

Задачи разделены на уровни сложности. Задачи из любого уровня вполне реально встретить на настоящем экзамене ЕГЭ, более сложные встретятся если "не повезло".



Сложность 1 (легкие задачи)

  1. (номер задачи в базе 1019-22)

    (Аналог задачи 18 (19) ЕГЭ 2017 основная волна) На доске написано 100 различных натуральных чисел, сумма которых равна 5130. а) Может ли оказаться, что на доске написано число 240? б) Может ли оказаться, что на доске нет числа 16? в) Какое наименьше количество чисел, кратных 16, может быть на доске?
    2. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)б)
    посмотреть решение в)


  2. (номер задачи в базе 1019-35)

    Между цифрами от 1 до 9 расставьте знаки арифметических действий и скобки (если нужно) так, чтобы получилось верное равенство: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 100. б) Расставьте в каждую клетку по одной цифре (все цифры должны быть различны) так, чтобы выполнялись следующие равенства: / = - = + = ∙ Здесь / это деление, + это сложение, ∙ это умножение, - это вычитание. в) Можно ли из цифр от 1 до 9 составить такое девятизначное число, что число из двух его первых цифр делится на 2, из трёх первых цифр – делится на 3 и так далее, а само число делится на 9?
    3. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)б)
    посмотреть решение в)


  3. (номер задачи в базе 1019-36)

    (Источник: Аналог задачи 18 (19) задачи А. Ларина вариант 143) Натуральные числа от 1 до 9 распределены на три группы: в 1‐й группе два числа, во 2‐й – три и в 3‐й – четыре. а) Могут ли произведения чисел в каждой группе оказаться одинаковыми? б) Могут ли суммы в каждой группе оказаться одинаковыми? в) Из чисел 1‐й группы составлено двузначное число A, из чисел 2‐й группы составлено трехзначное число B, а из чисел 3‐й группы составлено четырехзначное число C. Какое наибольшее значение может принимать сумма A+B+C?
    4. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)б)
    посмотреть решение в)


  4. (номер задачи в базе 1019-37)

    (Источник: Аналог задачи 18 (19) задачи А. Ларина вариант 150) а) На доске записаны числа 1,21,22,23,24,25. Разрешается стереть любые два числа и вместо них записать их разность – неотрицательное число. а) Может ли на доске в результате нескольких таких операций остаться только число 15? б) Круглая мишень разбита на 20 секторов, которые нумеруются по кругу в каком‐либо порядке числами 1,2,...,20. Если секторы занумерованы, например, в следующем порядке 1,20,5,12,9,14,11,8,16,7,19,3,17,2,15,10,6,13,4,18, то наименьшая из разностей (из большего всегда вычитается меньшее) между номерами соседних (по кругу) секторов равна 12 – 9 = 3. Может ли указанная величина при нумерации в другом порядке быть больше 3? в) Каково наибольшее возможное значение этой величины?
    5. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)б)
    посмотреть решение в)


  5. (номер задачи в базе 1019-19)

    (Аналог задачи 18 (19) ЕГЭ 2017 основная волна) На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 40 и меньше 100. а) Может ли на доске быть 5 чисел? б) Может ли на доске быть 6 чисел? в) Какое наибольшее значение может принимать сумма написанных на доске чисел, если их всего четыре?
    6. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)б)
    посмотреть решение в)


  6. (номер задачи в базе 1019-38)

    а) Можно ли число 2016 представить в виде суммы семи последовательных натуральных чисел? б) Можно ли число 2016 представить в виде суммы шести последовательных натуральных чисел? в) Представьте число 4032 в виде суммы наибольшего количества последовательных чётных натуральных чисел.
    7. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)б)
    посмотреть решение в)


  7. (номер задачи в базе 1019-7)

    Рассмотрим уравнения типа a+b=const. Решения будем искать в целых неотрицательных числах. а) Сколько решений в целых неотрицательных целых числах имеет уравнение a+b=99? б) Сколько решений в целых неотрицательных целых числах имеет система уравнений {█(a+b=99;@b∙d=999&&?)┤ в) Сколько решений в целых неотрицательных целых числах имеет уравнение a+b+с=99?
    8. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)б)
    посмотреть решение в)


  8. (номер задачи в базе 1019-12)

    12) (Источник: Аналог задачи 18 (19) задачи А. Ларина вариант 123) а) Найдите наименьшее натуральное число, половина которого является точным квадратом, а третья часть – точным кубом. б) Найдите наименьшее натуральное число, половина которого является точным кубом, а третья часть – точным квадратом. в) Найдите наименьшее натуральное число, половина которого является точным квадратом, третья часть – точным кубом, а пятая часть – точной пятой степенью?
    9. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)б)
    посмотреть решение в)


  9. (номер задачи в базе 1019-27)

    (Аналог задачи 18 (19) ЕГЭ 2018 основная волна) а) Представьте число 33/100 в виде суммы нескольких дробей, все числители которых – единица, а знаменатели – попарно различные натуральные числа. б) Представьте число 15/91 в виде суммы нескольких дробей, все числители которых – единица, а знаменатели – попарно различные натуральные числа. в) Найдите все возможные пары натуральных чисел m и n, для которых m≤n и 1/m+1/n=1/14.
    10. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)б)
    посмотреть решение в)


  10. (номер задачи в базе 1019-28)

    (Аналог задачи 18 (19) ЕГЭ 2019 основная волна) Квадратное уравнение x^2+px+q=0 имеет два различных натуральных корня. а) Пусть q=55. Найдите все возможные значения p. б) Пусть p+q=30. Найдите все возможные значения q. в) Пусть q^2-p^2=2108. Найдите все возможные корни исходного уравнения.
    11. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)б)
    посмотреть решение в)


  11. (номер задачи в базе 1019-21)

    (Аналог задачи 18 (19) ЕГЭ 2017 основная волна) На доске написано 30 различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру 5, или на цифру 9. Сумма написанных чисел равна 3008. а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 5 и на 9? б) Могут ли ровно три числа на доске оканчиваться на 5? в) Какое наименьше количество чисел, оканчивающихся на 5, может быть на доске?
    12. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)б)
    посмотреть решение в)




  12. (номер задачи в базе 1019-23)

    (Аналог задачи 18 (19) ЕГЭ 2017 основная волна) С натуральным числом проводят следующую операцию: между каждыми двумя его соседними цифрами записывают сумму этих цифр (например, из числа 1934 получается число 110912374). а) Приведите пример числа, из которого получается 2108124117? б) Может ли из какого-нибудь числа получится 37494128? в) Какое наибольшее число, кратное 11, может получиться из трехзначного числа?
    13. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)б)
    посмотреть решение в)


  13. (номер задачи в базе 1019-6)

    (Аналог задачи 18 (19) ЕГЭ 2016 основная волна) Требуется выдать премии сотрудникам отдела на общую сумму 800 000 рублей (размер премии каждого сотрудника - целое число, кратное 1000). Бухгалтеру дается распределение премий, и он должен их выдать без сдачи и размена, имея 250 купюр по 1000 рублей и 110 купюр по 5000 рублей. а) Удастся ли выполнить задание, если в отделе 40 сотрудников и все должны получить равные премии? б) Удастся ли выполнить задание, если ведущему специалисту надо выдать 800 00 рублей, а остальное оделить поровну на 80 сотрудников? в) При каком наибольшем количестве сотрудников в отделе задание удастся выполнить при любом распределении размеров премий?
    14. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)б)
    посмотреть решение в)


  14. (номер задачи в базе 1019-42)

    Рассматриваются конечные, непостоянные арифметические прогрессии, состоящие из натуральных чисел, которые не имеют простых делителей, отличных от 2 и 3. а) Может ли в этой прогрессии быть три числа? б) Может ли в этой прогрессии быть четыре числа? в) Какое наибольшее количество членов может быть в такой прогрессии?
    15. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)б)
    посмотреть решение в)


  15. (номер задачи в базе 1019-43)

    Натуральные числа от 1 до 12 разбивают на четыре группы, в каждой из которых есть, по крайней мере, два числа. Для каждой группы находят сумму чисел этой группы. Для каждой пары групп находят модуль разности найденных сумм и полученные 6 чисел складывают. а) Может ли в результате получиться 0? б) Может ли в результате получиться 1? в) Какое наименьшее возможное значение полученного результата?
    16. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)б)
    посмотреть решение в)


  16. (номер задачи в базе 1019-31)

    (Аналог задачи 18 (19) ЕГЭ 2019 основная волна) Последовательность (a_n ) состоит из 100 натуральных чисел. Каждый следующий член последовательности, начиная со второго, либо вдвое меньше предыдущего, либо больше него на 90. а) Может ли такая последовательность быть образована ровно четырьмя различными числами? б) Чему может быть равно a_100, если a_1=89? в) Какое наименьшее значение может принимать наибольшее число в такой последовательности?
    17. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)б)
    посмотреть решение в)


  17. (номер задачи в базе 1019-32)

    (Аналог задачи 18 (19) ЕГЭ 2019 основная волна) В течении n дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество чисел меньше, чем в предыдущий день. а) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 7. Может ли n быть больше 6? б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 2, среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 2,5? в) Известно, что n=6 . Какое наименьшее количество чисел могло быть записано за все эти дни?
    18. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)б)
    посмотреть решение в)


  18. (номер задачи в базе 1019-61)

    (Аналог задачи 18 (19) реального ЕГЭ 2021) Даны три различных натуральных числа такие, что второе число равно сумме цифр первого, а третье – сумме цифр второго. а) Может ли сумма трех чисел быть равной 2022? б) Может ли сумма трех чисел быть равной 2021? в) Сколько существует троек чисел, таких что первое число трехзначное, а последнее равно 2?
    19. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)б)
    посмотреть решение в)


Сложность 2 (средние по сложности задачи)

  1. (номер задачи в базе 1019-29)

    (Аналог задачи 18 (19) ЕГЭ 2019 основная волна) В ящике находятся 65 овощей, масса каждого из которых выражается целым числом грамм. В ящике есть хотя бы два фрукта различной массы, а средняя масса всех овощей равна 1000 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых меньше 1000 г, равна 982 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых больше 1000 г, равна 1024 г. а) Может ли быть поровну овощей массой меньше 1000 г и больше 1000 г? б) Может ли быть, что 13 овощей весят 1000 г, а все остальные больше или меньше? в) Какова масса самого лёгкого овоща?
    2. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)б)
    посмотреть решение в)


  2. (номер задачи в базе 1019-30)

    (Аналог задачи 18 (19) ЕГЭ 2019 основная волна) В ящике находятся 95 фруктов, масса каждого из которых выражается целым числом грамм. В ящике есть хотя бы два фрукта различной массы, а средняя масса всех фруктов равна 100 г. Средняя масса фруктов, масса каждого из которых меньше 100 г, равна 73 г. Средняя масса фруктов, масса каждого из которых больше 100 г, равна 115 г. а) Может ли быть поровну фруктов массой меньше 100 г и больше 100 г? б) Может ли быть, что 10 фруктов весят 100 г, а все остальные весят больше или меньше? в) какую наибольшую массу может иметь фрукт в этом ящике?
    3. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)б)
    посмотреть решение в)


  3. (номер задачи в базе 1019-39)

    Квадратная доска, разлинованная в клеточку (типа шахматной), имеет n строк и n столбцов. Над каждым столбцом и около каждой строки написано число, все 2n чисел различны. Известно, что k из них иррациональны, остальные рациональные числа. В самой доске на пересечении любой строки и любого столбца (в каждой клеточке) написано произведение чисел, написанных над этим столбцом и около этой строки. Всего n^2 чисел. Дайте обоснованные ответы на следующие вопросы. а) Может ли при n=10 и k=4 на доске, среди n^2 чисел, быть ровно 32 иррациональных. б) Может ли при n=10 и k=4 на доске, среди n^2 чисел, быть ровно 22 иррациональных. в) Какое наибольшее число рациональных, среди n^2 чисел написанных на доске чисел, может быть при n=10 и k=5.
    4. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)б)
    посмотреть решение в)




  4. (номер задачи в базе 1019-47)

    Из 25 последовательных нечетных чисел 1,3,5,…,49 выбрали 9 различных чисел, которые записали в порядке возрастания. Пусть A – пятое по величине среди этих чисел, B – среднее арифметическое выбранных девяти чисел. а) Может ли разность B-A равняться 1/9 ? б) Может ли разность B-A равняться 2/9 ? в) Найдите наибольшее возможное значение B-A.
    5. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)б)
    посмотреть решение в)


  5. (номер задачи в базе 1019-49)

    Про некоторый набор, состоящий из 11 различных натуральных чисел, известно, что сумма любых двух различных чисел этого набора меньше суммы любых трех различных чисел этого набора. а) Может ли одним из этих чисел быть число 3000? б) Может ли одним из этих чисел быть число 16? в) Какое наименьшее возможное значение может принимать сумма чисел такого набора?
    6. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)б)
    посмотреть решение в)


  6. (номер задачи в базе 1019-20)

    (Аналог задачи 18 (19) реального ЕГЭ 2017) На доске написано несколько различных натуральных чисел, причем любые два из них отличаются не более чем в три раза. а) Может ли на доске быть 6 чисел, сумма которых равна 71? б) Может ли на доске быть 9 чисел, сумма которых равна 71? в) Сколько может быть на доске чисел, если их произведение равно 7000.
    7. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)б)
    посмотреть решение в)


  7. (номер задачи в базе 1019-40)

    В классе учатся 28 учеников. Каждый из них написал хоть одну из прошедших двух контрольных. За контрольную ставится от 0 до 20 баллов. Известно, что средний балл за каждую из контрольных равен 15. Затем каждый из учеников назвал свой наибольший балл. Среднее арифметическое названных баллов S. а) Приведите пример на S<15. б) Возможно ли, что обе работы писало ровно 26 человек, если S=13. в) Какое максимальное количество человек могли писать обе работы, если S=13?
    8. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)б)
    посмотреть решение в)


  8. (номер задачи в базе 1019-52)

    (Аналог задачи 18 (19) ЕГЭ 2020 основная волна) На доске написано несколько различных натуральных чисел, каждое из которых делится на 3 и оканчивается на 4. а) Может ли сумма этих чисел быть равна 282? б) Может ли сумма этих чисел быть равна 390? в) Какое наибольшее количество чисел может быть на доске, если их сумма равна 2226?
    9. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)б)
    посмотреть решение в)


  9. (номер задачи в базе 1019-53)

    53) (Аналог задачи 18 (19) ЕГЭ 2020 основная волна) Десять мальчиков и семь девочек ходили в лес за грибами. Оказалось, что любые три мальчика собрали меньше грибов, чем любые две девочки, но любые три девочки собрали меньше грибов, чем любые пять мальчиков. а) Могла ли какая-нибудь девочка собрать меньше грибов, чем какой-нибудь мальчик? б) Могло ли у всех детей быть разное количество грибов? в) Какое наименьшее число грибов они могли собрать все вместе?
    10. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)б)
    посмотреть решение в)


  10. (номер задачи в базе 1019-54)

    (Аналог задачи 18 (19) ЕГЭ 2020 основная волна) Сорок гирек массой 1 г,2 г,...,40 г разложили по двум кучам, в каждой куче хотя бы одна гирька. Масса каждой гирьки выражается целым числом граммов. Затем из второй кучи переложили в первую одну гирьку. После этого средняя масса гирек в первой куче увеличилась на 1 г. а) Могло ли такое быть, если первоначально в первой куче лежали только гирьки массой 6 г, 10 г и 14 г.? б) Могла ли средняя масса гирек в первой куче первоначально равняться 8,5 г? в) Какое наибольшее число гирек могло быть первоначально в первой куче?
    11. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)б)
    посмотреть решение в)


  11. (номер задачи в базе 1019-13)

    В детский сад приехал Дед Мороз раздавать детям подарки – конфеты. У него есть 60 конфет отдельно и 40 коробок с конфетами по 3 конфеты в каждой (все конфеты, в коробках и без коробок – одинаковые). В зависимости от того, как ребёнок проявил себя в течение года, Дед Мороз должен дать ему определённое число конфет. (Открывать коробки и делить их нельзя.) а) Возможно ли это, если в группе 45 человек и все дети должны получить конфет поровну? б) В группе 33 ребенка. Воспитатели просят отдать сначала Васе 20 конфет, так как у него сегодня еще и день рождения, а остальные раздать детям поровну. Сможет ли Дед Мороз это сделать? в) При каком максимальном количестве детей в детском саду Дед Мороз в любом случае сможет отдать каждому столько конфет, сколько запланировано? Предполагается естественно, что сумма запланированных чисел конфет всех детей меньше или равна 180.
    12. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)б)
    посмотреть решение в)


  12. (номер задачи в базе 1019-26)

    (Аналог задачи 18 (19) ЕГЭ 2018 основная волна) На доске написано 11 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 5, а среднее арифметическое шести наибольших из них равно 15. а) Может ли наименьшее из этих одиннадцати чисел равняться 3? б) Может ли среднее арифметическое всех одиннадцати чисел равняться 9? в) Пусть В – шестое по величине число, а S – среднее арифметическое всех одиннадцати чисел. Найдите наибольшее значение выражения S-B.
    13. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)б)
    посмотреть решение в)


  13. (номер задачи в базе 1019-41)

    Известно, что n и m – натуральные числа. а) Существует ли пара чисел n и m, для которых выполнено равенство 1/n-1/m=1/72? б) Существует ли пара чисел n и m, для которых выполнено равенство 1/n^2 -1/m^2 =1/72? в) Найдите все пары натуральных чисел n и m, для которых выполнено равенство 1/n^3 -1/m^2 =1/72.
    14. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)б)
    посмотреть решение в)




  14. (номер задачи в базе 1019-45)

    (Аналог задачи 18 (19) реального ЕГЭ 2014) На окружности некоторым образом расставили натуральные числа от 1 до 21 (каждое число поставлено по одному разу). Затем для каждой пары соседних чисел нашли разность большего и меньшего. а) Могли ли все полученной разности быть не меньше 11? б) Могли ли все полученной разности быть не меньше 10? в) Помимо полученных разностей, для каждой пары чисел, стоящих через одно, нашли разность большего и меньшего. Для какого наибольшего целого числа k можно так расставить числа, что вы все разности были не меньшей k?
    15. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)б)
    посмотреть решение в)


  15. (номер задачи в базе 1019-48)

    (Аналог задачи 18 (19) ЕГЭ 2014 основная волна) На сайте проводится опрос, кого из футболистов считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста – доля голосов, отданных за него, в процентах, округленное до ближайшего целого числа (если таких числа два, то до большего из них). Например, числа 9,3,10,5 и 12,7 округляются до 9,11 и 13 соответственно. а) Всего проголосовало 15 посетителей сайта. Мог ли рейтинг некоторого футболиста быть равным 41? б) Пусть посетители сайта отдавали голоса за одного их трех футболистов. Могло ли быть так, что все три футболиста получили разное число голосов, но их рейтинги одинаковые? в) На сайте отображалась, что рейтинг некоторого футболиста равен трем. Это число не изменилось и после того, как Вася отдал свой голос за этого футболиста. При каком наименьшем числе отданных за всех футболистов голосов, включая Васин голос, такое возможно?
    16. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)б)
    посмотреть решение в)


  16. (номер задачи в базе 1019-3)

    (Аналог задачи 18 (19) ЕГЭ 2016 основная волна) На доске написаны числа 2 и 3. За один ход два числа a и b, записанные на доске, заменяются на два числа: или a+b и 2a-1 или a+b и 2b-1 (например, из чисел 2 и 3 можно получить либо 5 и 3, либо 5 и 5). а) Приведите пример последовательности ходов, после которых одно из двух чисел, написанных на доске, окажется числом 13. б) Может ли после 200 ходов одно из двух чисел, написанных на доске, оказаться числом 400? в) Сделали 513 ходов, причем на доске никогда не было написано одновременно двух равных чисел. Какое наименьшее значение может принимать разность большего и меньшего из полученных чисел?
    17. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)б)
    посмотреть решение в)


  17. (номер задачи в базе 1019-4)

    (Аналог задачи 18 (19) ЕГЭ 2016 основная волна) На доске написаны числа 2 и 3. За один ход два числа a и b, записанные на доске, заменяются на два числа: или a+b и 2a-1 или a+b и 2b-1 (например, из чисел 2 и 3 можно получить либо 5 и 3, либо 5 и 5). а) Приведите пример последовательности ходов, после которых одно из двух чисел, написанных на доске, окажется числом 15. б) Может ли после 50 ходов одно из двух чисел, написанных на доске, оказаться числом 100? в) Сделали 2015 ходов, причем на доске никогда не было написано одновременно двух равных чисел. Какое наименьшее значение может принимать разность большего и меньшего из полученных чисел?
    18. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)б)
    посмотреть решение в)


  18. (номер задачи в базе 1019-10)

    Рассматриваются уравнения в целых числах. Дайте обоснованный ответ на следующие задачи. а) Сколько решений в натуральных числах n,m,k имеет уравнение (n+m)(n+k)=99 при условии m<k. б) Сколько решений в натуральных числах n,m,k имеет уравнение 16mn+4n+4m+1=217. в) Сколько решений в натуральных числах n,m,k,l имеет уравнение (n+k+m)(n+k+l)=999 при условии m<l.
    19. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)б)
    посмотреть решение в)


  19. (номер задачи в базе 1019-15)

    (Аналог задачи 18 (19) ЕГЭ 2015 основная волна) В нескольких одинаковых бочках налито некоторое количество литров воды (необязательно одинаковое). За один раз можно перелить любое количество воды из одной бочки в другую. а) Пусть есть четыре бочки, в которых 29,32,40,91 литров. Можно ли не более чем за три переливания уравнять количество воды в бочках? б) Путь есть семь бочек. Всегда ли можно уравнять количество воды во всех бочках не более чем за пять переливаний? в) За какое наименьшее количество переливаний можно заведомо уравнять количество воды в 26 бочках?
    20. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)б)
    посмотреть решение в)


  20. (номер задачи в базе 1019-34)

    (Аналог задачи 18 (19) реального ЕГЭ 2019) Склад имеет форму прямоугольного параллелепипеда, длины ребер которого выражаются целыми числами. Этот склад заполняют контейнерами размером 1×1×3. При этом контейнеры можно располагать как угодно, но их грани должны быть параллельны граням склада. а) Могли ли получиться так, что склад объемом 150 невозможно полностью заполнить контейнерами? б) Могло ли получиться так, что на складе объемом 400 невозможно разместить 133 контейнера? в) Какой наибольший процент объема любого склада объемом не менее 200 гарантированно удастся заполнить контейнерами?
    21. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)б)
    посмотреть решение в)


  21. (номер задачи в базе 1019-8)

    Про натуральные числа a, b, c известно, что 10≤a≤24, 25≤b≤35. а) Может ли 36a-12b+16 равняться числу c, если известно, что 569≤c≤579 или 581≤c≤620? б) Может ли произведение чисел a и c равняться квадрату числа b, если 60≤c≤70? в) Найдите наименьшее из возможных значений выражения abc/(ab+bc+ac), если 60≤c≤70.
    22. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)б)
    посмотреть решение в)


  22. (номер задачи в базе 1019-11)

    Рейтинг спортсмена в некотором виде спорта рассчитывается следующим образом. Рассматривается процент соревнований (от общего числа соревнований прошедших с некоторой фиксированной даты до текущего момента), в которых спортсмен не попал в призеры, а также процент соревнований (также от общего числа соревнований прошедших с некоторой фиксированной даты до текущего момента), в которых спортсмен не принял участия. Оба процентных показателя округляются до целых чисел (по обычным правилам округления) и вычитаются из 100, получается текущий рейтинг спортсмена. а) Может ли округленный процент соревнований, в которых спортсмен не попал в призеры, быть равен 97, если с момента появления рейтинга прошло не менее 32 соревнований? б) Может ли рейтинг спортсмена увеличится после пропущенного соревнования? в) Пусть на данный момент спортсмен оказался в призерах в 21 соревновании. При каком максимальном количестве соревнований, произошедших с момента появления рейтинга до текущего момента, рейтинг спортсмена будет не менее 62?
    23. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)б)
    посмотреть решение в)


  23. (номер задачи в базе 1019-50)

    (Аналог задачи 18 (19) реального ЕГЭ 2020) В течение n дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество меньше, чем в предыдущий день. а) Может ли n быть больше 5? б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 3, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 4? в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 6. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни?
    24. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)б)
    посмотреть решение в)




  24. (номер задачи в базе 1019-9)

    Дайте обоснованный ответ на следующие задачи. а) В городе Глупове каждый житель – полицейский, вор или обыватель. Полицейские всегда врут обывателям, воры – полицейским, а обыватели – ворам; во всех остальных случаях жители города говорят правду. Однажды, когда несколько жителей этого города водили хоровод, каждый сказал своему соседу справа: «Я – полицейский». Сколько в этом хороводе обывателей? (Предполагается, что в хороводе более одного человека.) б) За круглым столом сидят 10 человек, каждый из которых - одного из двух типов: лжец (всегда лжет) или рыцарь (всегда говорит правду). Каждый из них утверждает: «Мои соседи слева и справа – разного типа». Сколько лжецов сидят за столом? в) Хоккейная команда, насчитывающая 28 человек, состоит из рыцарей (всегда говорят правду) и лжецов (всегда лгут). Все игроки имеют номер от 1 до 28 и, кроме этого, в команде есть хотя бы 1 рыцарь и 1 лжец. Однажды каждый игрок сделал заявление. Первый сказал: «Количество рыцарей в команде – делитель 1». Второй сказал: «Количество рыцарей в команде – делитель 2» и т.д. до 28‐го, который сказал: «Количество рыцарей в команде – делитель 28». Определите, сколько в команде рыцарей.
    25. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)б)
    посмотреть решение в)


  25. (номер задачи в базе 1019-24)

    (Аналог задачи 18 (19) ЕГЭ 2017 основная волна) Каждый из 28 студентов или писал одну из двух контрольных работ, или писал обе контрольные работы. За каждую из контрольных работ можно получить целое число баллов от 0 до 20 включительно. По каждой из двух контрольных работ в отдельности средний балл составил 15. Затем каждый студент назвал свой наивысший балл из своих баллов (если он писал только одну контрольную, то называл балл за нее). Среднее арифметическое названных баллов оказалось равно S. а) Приведите пример, когда S<15? б) Могло ли оказаться, что ровно 26 студентов написали обе контрольные работы, если S=13? в) Какое наибольшее количество студентов могло писать обе контрольные работы, если S=13?
    26. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)б)
    посмотреть решение в)


  26. (номер задачи в базе 1019-44)

    Каждый из группы учащихся сходил в кино или театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более 2/11 от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более 2/5 от общего числа учащихся группы, посетивших кино. а) Могло ли быть в группе 9 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся? б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся? в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительных условий пунктов а) и б).
    27. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)б)
    посмотреть решение в)


  27. (номер задачи в базе 1019-17)

    а) На шахматной доске (размер 8×8 клеток) стоит один король. Какое наибольшее число ладей (среди всех возможных расстановок короля) можно поставить на эту же доску так, чтобы никакие две фигуры не били друг друга? б) На шахматной доске (размер 8×8 клеток) стоит один король. Всегда ли можно добавить на эту же доску 7 ладей так, чтобы никакие две фигуры не били друг друга? в) На 64 клетках шахматной доски выписаны подряд числа от 0 до 63 (в верхнем ряду слева направо числа от 0 до 7, во втором ряду числа от 8 до 15 и т.д.). Восемь ладей поставлены так, что никакие две не бьют друг друга. Подсчитана сумма чисел, написанных на тех восьми клетках, на которых поставлены ладьи. Найдите все значения, которые может принимать эта сумма.
    28. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)б)
    посмотреть решение в)


  28. (номер задачи в базе 1019-18)

    а) На шахматной доске (размер 8×8 клеток) стоит 13 слонов (офицеров) не обязательного одного цвета так, что ни одна фигура не бьет другую. Какое максимальное число слонов (любого цвета) можно добавить на доску (среди всех таких ситуаций), чтобы фигуры по-прежнему не били друг друга? б) На шахматной доске (размер 8×8 клеток) стоит 13 слонов (офицеров) не обязательного одного цвета так, что ни одна фигура не бьет другую. Всегда ли можно добавить к ним еще одного слона так, чтобы фигуры по-прежнему не били друг друга? в) На шахматной доске (размер 8×8 клеток) стоит одна ладья. Какое наибольшее число королей (среди всех положений ладьи) можно поставить на эту доску так, чтобы никакие два не били друг друга и ладья не била ни одного из них (короли ладью бить могут)?
    29. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)б)
    посмотреть решение в)


  29. (номер задачи в базе 1019-55)

    (Аналог задачи 18 (19) ЕГЭ 2020 основная волна) На доске написано n единиц, между некоторыми из которых поставили знаки + и посчитали сумму. Например, если изначально было написано n = 12 единиц, то могла получиться, например, такая сумма: 1+11+11+111+11+1+1=147. а) Могла ли сумма равняться 132, если n=60? б) Могла ли сумма равняться 132, если n=80 ? в) Чему могло равняться n, если полученная сумма чисел равна 132?
    30. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)б)
    посмотреть решение в)


  30. (номер задачи в базе 1019-1)

    (Аналог задачи 18 (19) ЕГЭ 2016 основная волна) Множество чисел назовем «хорошим», если его можно разбить на два подмножества с одинаковой суммой чисел. а) Является ли множество {200;201;202;…;299} «хорошим»? б) Является ли множество {2;4;8;…;2^100 } «хорошим»? в) Сколько «хороших» четырехэлементных подмножеств у множества {1;2;4;5;7;9;11}?
    31. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)б)
    посмотреть решение в)


  31. (номер задачи в базе 1019-62)

    (Аналог задачи 18 (19) реального ЕГЭ 2021) Первый член конечной геометрической прогрессии, состоящей из трехзначных натуральных чисел, равен 128. а) Может ли число 686 являться членом такой прогрессии? б) Может ли число 496 являться членом такой прогрессии? в) Какое наибольшее число может являться членом такой прогрессии?
    32. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)б)
    посмотреть решение в)


  32. (номер задачи в базе 1019-57)

    (Аналог задачи 18 (19) реального ЕГЭ 2021) Отношение трехзначного натурального числа к сумме его цифр – целое число. а) Может ли это отношение быть равным 28? б) Может ли это отношение быть равным 88? в) Какое наименьшее значение может принимать это отношение, если первая цифра трехзначного числа равна 8?
    33. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)б)
    посмотреть решение в)


  33. (номер задачи в базе 1019-58)

    (Аналог задачи 18 (19) реального ЕГЭ 2021) Отношение трехзначного натурального числа к сумме его цифр – целое число. а) Может ли это отношение быть равным 34? б) Может ли это отношение быть равным 84? в) Какое наименьшее значение может принимать это отношение, если первая цифра трехзначного числа равна 4?
    34. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)б)
    посмотреть решение в)




Сложность 3 (сложные задачи)

  1. (номер задачи в базе 1019-59)

    (Аналог задачи 18 (19) реального ЕГЭ 2021) Дано трехзначное число A, сумма цифр которого равна S. а) Может ли выполняться равенство A∙S=2800? б) Может ли выполняться равенство A∙S=2491? в) Найдите наибольшее произведение A∙S, если известно, что оно меньше 5997.
    2. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)б)
    посмотреть решение в)


  2. (номер задачи в базе 1019-60)

    (Аналог задачи 18 (19) реального ЕГЭ 2021) Дано трехзначное число A, сумма которого равна S. а) Может ли выполняться равенство A∙S=1105? б) Может ли выполняться равенcтво A∙S=1106? в) Найдите наименьшее произведение A∙S, если известно, что оно больше 1503.
    3. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)б)
    посмотреть решение в)


  3. (номер задачи в базе 1019-46)

    Семь экспертов оценивают кинофильм. Каждый из них выставляет оценку – целое число баллов от 0 до 10 включительно. Известно, что все эксперты выставили различные оценки. По старой системе оценивания рейтинг кинофильма – это среднее арифметическое всех оценок экспертов. По новой системе оценивания рейтинг кинофильма вычисляется следующим образом: отбрасываются наименьшая и наибольшая оценки, и подсчитывается среднее арифметическое пяти оставшихся оценок. а) Может ли модуль разности рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться 1/30? б) Может ли модуль разности рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания равняться 1/35? в) Найдите наибольшее возможное значение модуля разности рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания.
    4. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)б)
    посмотреть решение в)


  4. (номер задачи в базе 1019-2)

    Есть некоторое количество бочек с водой. Все бочки необходимо освободить, перелив всю воду из них в две цистерны так, чтобы в цистернах воды было поровну. При этом переливать воду из одной бочки можно только целиком в одну цистерну. а) Возможно ли это, если в бочках налито 1;2;3; …;400 литров воды? б) Возможно ли это, если в бочках налито 3^4; 3^6; 3^8; …; 3^(80 )литров воды? в) Сколько существует троек бочек, с которыми удастся совершить данную операцию, если их можно выбрать из набора бочек с 1; 7; 8; 11; 14; 20; 25; 26; 32; 35; 38; 50; 62; 74; 80; 83; 89; 95; 101; 107; 113; 255; 571; 900 литрами воды?
    5. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)б)
    посмотреть решение в)


  5. (номер задачи в базе 1019-56)

    (Аналог задачи 18 (19) ЕГЭ 2020 основная волна) По кругу стоят несколько детей, среди которых есть хотя бы два мальчика и хотя бы две девочки. У каждого из детей есть натуральное число конфет. У любых двух мальчиков одинаковое число конфет, а у любых двух девочек – разное. По команде каждый отдал соседу справа четверть своих конфет. После этого у любых двух девочек оказалось одинаковое число конфет, а у любых двух мальчиков – разное. Известно, что каждый из детей отдал натуральное число конфет. а) Может ли мальчиков быть ровно столько же, сколько девочек? б) Может ли мальчиков быть больше, чем девочек? в) Пусть девочек вдвое больше, чем мальчиков. Может ли у всех детей суммарно быть 328 конфет?
    6. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)б)
    посмотреть решение в)


  6. (номер задачи в базе 1019-5)

    5) (Аналог задачи 18 (19) ЕГЭ 2016 основная волна) В шахматы можно выиграть, проиграть или сыграть вничью. Шахматист записывает результат каждой сыгранной им партии и после каждой партии подсчитывает три показателя: «победы» – процент побед среди всех сыгранных партий, округленный до целого, «ничьи» – процент ничьих среди всех сыгранных партий, округленный до целого, и «поражения» – 100 отнять округленный процент побед и отнять округленный процент ничьих. (Округление происходит обычным образом, например, число 13,2 округляется до 13, число 14,5 округляется до 15, число 16,8 округляется до 17.) а) Может ли в какой-то момент показатель «побед» равняться 17, если сыграно менее 50 партий? б) Может ли после выигранной партии увеличиться показатель поражений»? в) Известно, что ровно одна из партий была проиграна. При каком наименьшем количестве сыгранных партий показатель «поражений» может быть равным 1?
    7. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)б)
    посмотреть решение в)


  7. (номер задачи в базе 1019-14)

    На доске написаны натуральные числа k и m и целые различные числа n_1,n_2,…,n_m. Во всех пунктах требуется указать многочлен степени k с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом равным 1, удовлетворяющий указанным условиям или доказать, что такого многочлена не существует (ответы должны быть обоснованы). а) Существует ли многочлен для k=4, m=5, n_i=i для всех i=1,…,m и P(n_i )=0 для i=1,2,3,4 и P(n_5 )=24. б) Существует ли многочлен для k=3, m=4, n_i=i для всех i=1,…,m и P(n_i )=0 для i=1,2,3 и P(n_4 )=1. в) Сколько существует таких многочленов для k=2019, m=2019, n_i=4∙i для всех i=1,…,m и P(n_1 )∙P(n_2 )∙⋯∙P(n_2019 )=1.
    8. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)б)
    посмотреть решение в)


  8. (номер задачи в базе 1019-33)

    (Аналог задачи 18 (19) реального ЕГЭ 2019) Вася и Петя решали задачи из сборника, и каждый из них решил все задачи этого сборника. Каждый день Вася решал на одну задачу больше, чем в предыдущий день, а Петя решал на две задачи больше, чем в предыдущий день. Они начали решать задачи в один день, при этом в первый день каждый из них решил хотя бы одну задачу. а) Могло ли получиться так, что Вася в первый день решил на одну задачу меньше, чем Петя, а Петя решил все задачи из сборника ровно за 5 дней? б) Могло ли получиться так, что Вася в первый день решил на одну задачу больше, чем Петя, а Петя решил все задачи из сборника ровно за 4 дня? в) Какое наименьшее количество задач могло быть в сборнике, если каждый из ребят решал задачи более 6 дней, причем в первый день один из мальчиков решил на одну задачу больше чем другой?
    9. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)б)
    посмотреть решение в)


  9. (номер задачи в базе 1019-51)

    (Аналог задачи 18 (19) ЕГЭ 2020 основная волна) На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 3, к каждому числу из второй группы — цифру 7, а числа из третьей группы оставили без изменений. а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 8 раз? б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 17 раз? в) В какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма всех этих чисел?
    10. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)б)
    посмотреть решение в)


  10. (номер задачи в базе 1019-16)

    Несколько детей, гуляя в лесу, собирали в свои корзины желуди. После прогулки они обнаружили, что в каждой корзине было по крайней мере по одному желудю и решили сыграть в игру: за 1 ход из двух корзин в третью нужно переложить любое (из каждой корзины ненулевое) количество желудей. Цель игры – уравнять количества желудей в корзинах. а) Если детей было четверо и они собрали 15,13,18 и 2 желудя, как им уравнять количества желудей за 2 хода? б) Если детей было 13, верно ли, что им всегда удастся уравнять количества желудей в корзинах за 11 ходов? (предполагается, что среднее арифметическое желудей – целое число) в) Всегда ли можно уравнять желуди, если детей было не меньше трех и среднее арифметическое количеств желудей в корзинах – целое число.
    11. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)б)
    посмотреть решение в)




  11. (номер задачи в базе 1019-25)

    (Аналог задачи 18 (19) ЕГЭ 2018 основная волна) В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере 2 учащихся, а суммарно тест писал 81 учащийся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешел из школы №1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в каждой школе. а) Мог ли средний балл в школе №1 вырасти в 2 раза? б) Средний балл в школе №1 вырос на 20%, средний балл в школе №2 также вырос на 20%. Мог ли первоначальный средний балл в школе №2 равняться 1? в) Средний балл в школе №1 вырос на 20%, средний балл в школе №2 также вырос на 20%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2?
    12. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)б)
    посмотреть решение в)


нижняя шапка