верхняя шапка
реклама
MATHM >> ЕГЭ >> ЕГЭ профиль >>
Задача 17
картинка

ЗАДАЧА 17
сортировка
по сложности
ЗАДАЧА 17
сортировка
по темам

ЗАДАЧА 17
егэ профиль
сортировка по темам

СПИСОК ТЕМ
Тема 1: Реальные задачи ЕГЭ последних лет
Тема 2: Треугольники и их свойства
Тема 3: Четырехугольники и их свойства
Тема 4: Задачи с окружностями и треугольниками
Тема 5: Задачи с окружностями и четырехугольниками
(многоугольниками)

Задачи разделены на темы. Задачи из любой темы вполне реально встретить на настоящем экзамене ЕГЭ. Внутри каждой темы задачи мы постарались расположить по возрастанию сложности.




Тема 1: Реальные задачи ЕГЭ последних лет

  1. (реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2023 профильная математика досрочная волна) (Аналог досрочного ЕГЭ 2023) Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соответственно. а) Докажите, что прямые KM и BC параллельны. 6) Пусть L – точка пересечения отрезков KM и AP. Найдите AL, если радиус большей окружности равен 10, а BC = 16.
    2. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение 1 б)

    посмотреть решение 2 б)




  2. (реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2022 профильная математика основная волна) На стороне BC параллелограмма ABCD выбрана точка M такая, что AM=MC. а) Докажите, что центр вписанной в треугольник AMD окружности лежит на диагонали AC. б) Найдите радиус вписанной в треугольник AMD окружности, если AB=5,BC=10,∠BAD=60°.
    3. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  3. (реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2022 профильная математика основная волна) На стороне BC параллелограмма ABCD выбрана точка M такая, что AM=MC. а) Докажите, что центр вписанной в треугольник AMD окружности лежит на диагонали AC. б) Найдите радиус вписанной в треугольник AMD окружности, если AB=5,BC=10,∠BAD=60°.
    4. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  4. (реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2022 профильная математика основная волна) В параллелограмме ABCD угол BAC вдвое больше угла CAD. Биссектриса угла BAC пересекает отрезок BC в точке L. На продолжении стороны CD за точку D выбрана такая точка E, что CE=AE. а) Докажите, что AL∙BC=AB∙AC. б)  Найдите EL, если tg⁡〖∠BCA=0,5〗, AC=8.
    5. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  5. (реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2022 профильная математика основная волна) Биссектриса BB_1 и высота CC_1 треугольника ABC пересекают описанную кружность в точках M и N. Известно, что ∠BCA=85° и ∠ABC=40° а) Докажите, что CN = BM. б) Пусть MN и BC пересекаются в точке D. Найти площадь треугольника BDN, если его высота BH равна 7.
    6. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  6. (реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2021 профильная математика основная волна) Точки A,B,C,D и E лежат на окружности в указанном порядке, причем AE=ED=CD, а прямые AC и BE перпендикулярны. Отрезки AC и BD пересекаются в точке T. а) Докажите, что прямая EC пересекает отрезок TD в его середине. б) Найдите площадь треугольника ABT, если BD=6, AE=√6.
    7. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  7. (реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2021 профильная математика основная волна) Дан параллелограмм ABCD с острым углом A. На продолжении стороны AD за точку D взята точка N такая, что CN = CD, а на продолжении стороны CD за точку D взята такая точка M, что AD = AM. а) Докажите, что BM = BN. б) Найдите MN, если AC=7, sin⁡(BAD)=7/25.
    8. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  8. (реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2021 профильная математика основная волна) Трапеция ABCD с большим основанием AD и высотой BH вписана в окружность. Прямая BH вторично пересекает эту окружность в точке K. а) Докажите, что прямые AC и AK перпендикулярны. б) Прямые CK и AD пересекаются в точке N. Найдите AD, если радиус окружности равен 12, ∠ BAC = 30°, а площадь четырёхугольника BCNH в 8 раз больше площади треугольника KNH.
    9. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  9. (реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2021 профильная математика основная волна) Окружность с центром O, построенная на катете AC прямоугольного треугольника ABC как на диаметре, пересекает гипотенузу AB в точках A и D. Касательная, проведенная к этой окружности в точке D, пересекает катет BC в точке M. а) Докажите, что BM=CM. б) Прямая DM пересекает прямую AC в точке P, прямая OM пересекает прямую BP в точке K. Найдите BK:KP, если cos⁡〖∠BAC〗=(2√5)/5.
    10. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  10. (реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2020 профильная математика основная волна) Две окружности касаются внутренним образом в точке C. Вершины A и B равнобедренного прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая AC вторично пересекает большую окружность в точке E, а прямая BC вторично пересекает меньшую окружность в точке D. а) Докажите, что прямые AD и BE параллельны. б) Найдите AC, если радиусы окружностей равны 8 и 15.
    11. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)




  11. (реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2020 профильная математика основная волна) На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC отмечны точки C_1, A_1 и B_1 соответственно, причем AC_1:C_1 B=8:3, BA_1:A_1 C= 1:2, AB_1:B_1 C= 1:3. Отрезки BB_1 и CC_1 пересекаются в точке D. а) Докажите, что ADA_1 B_1 – параллелограмм. б) Найдите CD, если отрезки AD и BC перпендикулярны, AC=28, BC=18.
    12. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  12. (реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2020 профильная математика основная волна) В треугольнике ABC угол A равен 120°. Прямые, содержащие высоты BM и CN треугольника ABC, пересекаются в точке H. Точка O – центр окружности, описанной около треугольника ABC. а) Докажите, что AH=AO. б) Найдите площадь треугольника AHO, если BC=√15, ∠ABC=45°.
    13. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  13. (реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2019 профильная математика основная волна) В остроугольном треугольнике ABC проведены высота CC_1 и медиана AA_1, причем точки A,C,A_1 и C_1 лежат на одной окружности. а) Докажите, что треугольник ABC – равнобедренный. б) Найдите площадь треугольника ABC, если AA_1:CC_1 = 3:2 и A_1 C_1=2.
    14. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  14. (реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2019 профильная математика основная волна) Точка O – центр вписанной в треугольник ABC окружности. Прямая BO вторично пересекает описанную около треугольника ABC окружность в точке P. а) Докажите, что POA=PAO. б) Найдите площадь треугольника APO, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 10, BAC=75°,ABC=60°.
    15. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  15. (реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2019 профильная математика основная волна) Точка O – центр вписанной в треугольник ABC окружности. Прямая BO вторично пересекает описанную около треугольника ABC окружность в точке P. а) Докажите, что OP=CP. б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если расстояние от точки P до прямой AC равно 18, ABC=60°.
    16. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  16. (реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2019 профильная математика основная волна) Из вершины C прямого угла прямоугольного треугольника ABC проведена высота CH. а) Докажите, что отношение площадей кругов, построенных на отрезках AH и BH соответственно как на диаметрах, равно tg^4ABC. б) Пусть точка O_1 – центр окружности диаметром AH, вторично пересекает отрезок AC в точке P. Точка O_2 – центр окружности диаметром BH, вторично пересекает отрезок BC в точке Q. Найдите площадь четырехугольника O_1 PQO_2, если AC=12,BC=10.
    17. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  17. (Аналог досрочного ЕГЭ 2019) Две окружности разных радиусов касаются внешним образом в точке K. Прямая касается первой окружности в точке A, а второй окружности в точке B. Луч BK пересекает первую окружность в точке D, луч AK пересекает вторую окружность в точке С. а) Докажите, что четырехугольник ABCD – трапеция. б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника BCD, если радиус первой окружности равен 1, а радиус второй окружности равен 4
    18. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  18. (Аналог досрочного ЕГЭ 2019 профильная математика) Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Точки M и N – середины сторон AB и CD соответственно. Окружность, проходящая через точки B и С, пересекает отрезки BM и CN в точках P и Q, отличных от концов отрезков, соответственно. а) Докажите, что точки M, N, P и Q лежат на одной окружности. б) Найдите QN, если отрезки DP и PC перпендикулярны, AB = 26, BC = 4,5, CD = 25, AD = 21,5.
    19. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  19. (реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2019 профильная математика основная волна) В остроугольном треугольнике ABC угол A равен 60°. Высоты BN и CM треугольника ABC пересекаются в точке H. Точка O – центр окружности, описанной вокруг треугольника ABC. а) Докажите, что AH=AO. б) Найдите площадь треугольника AHO, если BC=6√3,ABC=45°.
    20. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  20. (реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2018 профильная математика основная волна) Четырехугольник ABCD вписан в окружность радиуса R=8. Известно, что AB=BC=CD=12. а) Докажите, что прямая BC параллельна AD. б) Найдите AD.
    21. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)




  21. (реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2018 профильная математика основная волна) В трапеции ABCD с основаниями BC и AD углы ABD и ACD – прямые. а) Докажите, что AB=CD. б) Найдите AD, если AB=2,BC=7.
    22. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  22. (реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2018 профильная математика основная волна) Окружность проходит через вершины A,B и D параллелограмма ABCD, пересекает сторону BC в точках B и M и продолжение стороны CD за точку D в точке N. а) Докажите, что AM=AN. б) Найдите отношение CD∶DN, если AB∶BC=1∶3, а cos⁡BAD=0,4.
    23. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  23. (реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2018 профильная математика основная волна) Окружность с центром O_1 касается оснований BC и AD и боковой стороны AB трапеции ABCD. Окружность с центром O_2 касается сторон BC, CD и AD. Известно, что AB=10,BC=9,CD=30,AD=39. а) Докажите, что прямая O_1 O_2 параллельна основаниям трапеции. б) Найдите O_1 O_2.
    24. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  24. (реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2018 профильная математика основная волна) Окружность высекает на сторонах трапеции ABCD с основаниями AD и BC равные отрезки. Эта окружность пересекает боковую сторону AB в точках K и L. а) Докажите, что биссектрисы углов трапеции пересекаются в центре этой окружности. б) Найдите высоту трапеции, если AK=6,AL=10,BL=2.
    25. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  25. (реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2018 профильная математика основная волна) На боковых сторонах AB и AC равнобедренного треугольника ABC отложены равные отрезки AP и CQ соответственно. а) Докажите, что средняя линяя треугольника ABC, параллельная его основанию, проходит через середину отрезка PQ. б) Найдите длину отрезка прямой PQ, заключенного внутри вписанной окружности треугольника ABC, если AB=AC=BC=3√2,CQ=AP=√2.
    26. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  26. (реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2017 профильная математика основная волна) Точка M – середина гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC. Серединный перпендикуляр к гипотенузе пересекает катет BC в точке N. а) Докажите, что CAN=CMN. б) Найдите отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников ANB и CBM, если tgBAC=12/5.
    27. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  27. (реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2017 профильная математика основная волна) Две окружности с центрами O_1 и O_2 и радиусами 3 и 4 пересекаются в точках A и B, причем точки O_1 и O_2 лежат по разные стороны от прямой AB. Через точку A проведена прямая, вторично пересекающая эти окружности в точках M и K, причем точка A лежит между точками M и K. а) Докажите, что треугольники MBK и O_1 AO_2 подобны. б) Найдите расстояние от точки B до прямой MK, если MK=7, O_1 O_2=5.
    28. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  28. (реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2017 профильная математика основная волна) В трапеции ABCD основание AD в два раза больше основания BC. Внутри трапеции взяли точку M так, что углы ABM и DCM прямые. а) Докажите, что AM=DM. б) Найдите угол BAD, если угол ADC равен 55°, а расстояние от точки M до прямой AD равно стороне BC.
    29. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  29. (реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2017 профильная математика основная волна) В трапеции ABCD угол BAD прямой. Окружность, построенная на большем основании AD как на диаметре, пересекает меньшее основание BC в точках C и M. а) Докажите, что BAM=CAD. б) Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке O. Найдите площадь треугольника AOB, если AB=6, а BC=4BM.
    30. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  30. (реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2017 профильная математика основная волна) Окружность, вписанная в трапецию ABCD, касается ее боковых сторон AB и CD в точках M и N соответственно. Известно, что AM=6MB и 2DN=3CN. а) Докажите, что AD=3BC. б) Найдите длину отрезка MN, если радиус окружности равен √105.
    31. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)




  31. реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2017 профильная математика основная волна) В треугольник ABC, в котором длина стороны AC меньше длины стороны BC, вписана окружность с центром в точке O. Точка B_1 симметрична точке B относительно прямой CO. а) Докажите, что точки A,B,O и B_1 лежат на одной окружости. б) Найдите площадь четырехугольника AOBB_1, если AB=20,AC=12 и BC=16.
    32. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  32. (Аналог Статград 2017) Прямая, проходящая через середину M гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC, пересекает катет AC в точке K и перпендикулярна CM. Пусть прямые MK и BC пересекаются в точке P и CM=BP. а) Докажите, что BAC=30°. б) Пусть прямые AP и BK пересекаются в точке Q. Найдите QP, если BC=√7.
    33. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  33. (реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2016 профильная математика основная волна) Квадрат ABCD со стороной a вписан в окружность. Хорда CE пересекает его диагональ BD в точке K. а) Докажите, что CE∙CK=a^2. б) Найдите отношение BK к KE, если BKC=60°.
    34. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  34. (реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2016 профильная математика основная волна) В остроугольном треугольнике ABC точка O - центр вписанной окружности, точка K - центр описанной окружности. Угол AOC равен 120°. а) Докажите, что точки A, C, O, K лежат на одной окружности. б) Пусть H – точка пересечения высот треугольника ABC и BAC=70°. Найдите угол HKO.
    35. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  35. (реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2016 профильная математика основная волна) В прямоугольном треугольнике ABC угол A больше угла B, точки M и N – середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла A пересекает прямую MN в точке L. Прямая AL пересекает катет BC в точке K. а) Докажите, что треугольники ACK и ALB подобны. б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если cos⁡CAB=7/25.
    36. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  36. (реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2016 профильная математика основная волна) На катетах AC и BC прямоугольного треугольника ABC как на диаметрах построены окружности, которые второй раз пересекаются в точке M. На меньшей дуге MB взята точка Q. Прямая CQ второй раз пересекает окружность с диаметром AC в точке P. а) Докажите, что треугольники ABC и PQM подобны. б) Найдите площадь треугольника PQM, если AM=1, MB=3 и точка Q – середина дуги MB.
    37. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)




Тема 2: Треугольники и их свойства

  1. (Аналог Статград 2016) Дана трапеция KLMN с основаниями KN и LM. Окружности, построенные на боковых сторонах KL и MN как на диаметрах, пересекаются в точках A и B. а) Докажите, что средняя линия трапеции лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB. б) Найдите AB, если известно, что боковые стороны трапеции равны 26 и 28, а средняя линия трапеции равна 15.
    2. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  2. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AK и CM. Из точки M на сторону BC опущен перпендикуляр ME, а из точки K на сторону AB опущен перпендикуляр KH. а) Докажите, что прямые AC и EH параллельны. б) Найдите отношение AC к EH, если угол ABC равен 30°.
    3. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  3. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AK и CM. На них из точек M и K опущены перпендикуляры ME и KH соответственно. а) Докажите, что прямые AC и EH параллельны. б) Найдите отношение EH к AC, если угол ABC равен 30°.
    4. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  4. В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N – середины катетов AC и BC соответственно. CH – высота, точка H делит гипотенузу AB в отношении 2:1 считая от вершины A. Пусть Q – точка пересечения прямых MH и CB, а P – точка пересечения прямых HN и AC. а) Докажите, что треугольники MHP и MCQ равны. б) Найдите площадь треугольника MHP, если AH=2.
    5. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  5. (реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2017 профильная математика основная волна) В трапеции ABCD основание AD в два раза больше основания BC. Внутри трапеции взяли точку M так, что углы ABM и DCM прямые. а) Докажите, что AM=DM. б) Найдите угол BAD, если угол ADC равен 55°, а расстояние от точки M до прямой AD равно стороне BC.
    6. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  6. В треугольник ABC вписана окружность, отрезок MN с концами на сторонах AB и BC соответственно касается этой окружности, причем MN∥AC. а) Докажите, что AC=3MN, если сторона AC в три раза меньше периметра треугольника ABC. б) Найдите AC, если MN=3 и периметр трегольника ABC равен 24.
    7. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  7. В остроугольном треугольнике ABC угол B равен 60°. O - центр вписанной окружности, K - центр описанной окружности. а) Докажите, что точки A,C,O,K лежат на одной окружности. б) Пусть H - точка пересечения высот треугольника ABC и BAC=80°. Найдите угол OHK.
    8. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  8. (Аналог Статград 2016) Первая окружность с центром O, вписанная в равнобедренный треугольник KLM, касается боковой стороны KL в точке B, а основания ML – в точке A. Вторая окружность с центром O_1 касается основания ML и продолжений боковых сторон. а) Докажите, что треугольник OLO_1 прямоугольный. б) Найдите радиус второй окружности, если известно, что радиус первой равен 6 и AK=16.
    9. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  9. (Аналог Статград 2016) Дан треугольник ABC. Серединный перпендикуляр к стороне AB пересекается с биссектрисой угла BAC в точке K, лежащей на стороне BC. а) Докажите, что AC^2=BC∙CK. б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник AKB, если cos⁡B=2/3, AC=36, а площадь треугольника AKC равна 126√5.
    10. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  10. (реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2016 профильная математика основная волна) В остроугольном треугольнике ABC точка O - центр вписанной окружности, точка K - центр описанной окружности. Угол AOC равен 120°. а) Докажите, что точки A, C, O, K лежат на одной окружности. б) Пусть H – точка пересечения высот треугольника ABC и BAC=70°. Найдите угол HKO.
    11. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)




  11. В прямоугольном треугольнике ABC угол A больше угла B, точки M и N – середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла A пересекает прямую MN в точке L. а) Докажите, что треугольники BLC и AML подобны. б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если cosCAB=7/25.
    12. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  12. (реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2016 профильная математика основная волна) В прямоугольном треугольнике ABC угол A больше угла B, точки M и N – середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла A пересекает прямую MN в точке L. Прямая AL пересекает катет BC в точке K. а) Докажите, что треугольники ACK и ALB подобны. б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если cos⁡CAB=7/25.
    13. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  13. (реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2015 профильная математика основная волна) Пусть N – середина гипотенузы прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C. Высота треугольника BCM пересекает прямую AB в точке N, причем точки N и M лежат по разные стороны прямой BC. а) Докажите, что треугольник BCM – равнобедренный. б) Прямая, параллельная BC и проходящая через точку N, пересекает прямую CM в точке K. Найдите площадь четырехугольника ABMK, если CK/CM=3/4 и площадь треугольника NBP равна 12.
    14. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  14. В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N – середины катетов AC и BC соответственно. CH – высота, точка H делит гипотенузу AB в отношении 2∶1 считая от вершины A. Точка Q – точка пересечения прямых MH и CB, а точка P – точка пересечения прямых HN и AC. а) Докажите, что CHQP – равнобедренная трапеция. б) Найдите площадь CHQP, если AH=2.
    15. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  15. (Аналог Статград 2017) Прямая, проходящая через середину M гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC, пересекает катет AC в точке K и перпендикулярна CM. Пусть прямые MK и BC пересекаются в точке P и CM=BP. а) Докажите, что BAC=30°. б) Пусть прямые AP и BK пересекаются в точке Q. Найдите QP, если BC=√7.
    16. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  16. (Аналог Статград 2017) Прямая, проходящая через середину M гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC, пересекает катет AC в точке K и перпендикулярна CM. Пусть прямые MK и BC пересекаются в точке P и CM=BP. а) Докажите, что BAC=30°. б) Пусть прямые AP и BK пересекаются в точке Q. Найдите QP, если BC=√7.
    17. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


Тема 3: Четырехугольники и их свойства

  1. (Аналог Статград 2016) Диагональ BD четырехугольника ABCD с параллельными основаниями AD и BC разбивает его на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и DC. а) Докажите, что луч AC – биссектриса угла BAD. б) Найдите CD, если известны диагонали четырехугольника BD=5 и AC=8.
    2. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  2. Прямая, проходящая через вершину B прямоугольника ABCD перпендикулярно диагонали AC, пересекает сторону AD в точке M, равноудаленной от вершины B и D. а) Докажите, что лучи BM и BD делят угол ABC на три равные части. б) Найдите расстояние от центра прямоугольника до прямой CM, если BC=6√21.
    3. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  3. (Аналог Статград 2018) В равнобедренной трапеции ABCD основание AD в три раза больше основания BC. а) Докажите, что высота CH трапеции разбивает основание AD на отрезки, один из которых вдвое больше другого. б) Найдите расстояние от вершины C до середины диагонали BD, если AD=18 и AC=4√13.
    4. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)





  4. (реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2021 профильная математика основная волна) Окружность с центром O, построенная на катете AC прямоугольного треугольника ABC как на диаметре, пересекает гипотенузу AB в точках A и D. Касательная, проведенная к этой окружности в точке D, пересекает катет BC в точке M. а) Докажите, что BM=CM. б) Прямая DM пересекает прямую AC в точке P, прямая OM пересекает прямую BP в точке K. Найдите BK:KP, если cos⁡〖∠BAC〗=(2√5)/5.
    5. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  5. (Аналог Статград 2017) Прямая, проходящая через вершину B прямоугольника ABCD перпендикулярно диагонали AC, пересекает сторону AD в точке M, равноудаленной от вершин B и D. а) Докажите, что лучи BM и BD делят угол ABC на три равные части. б) Найдите расстояние от центра прямоугольника до прямой CM, если BC=6√21.
    6. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


Тема 4: Задачи с окружностями и треугольниками

  1. В прямоугольный треугольник ABC вписана окружность, которая касается гипотенузы AC в точке M. а) Докажите, что отрезок BM меньше утроенного радиуса вписанной окружности. б) Найдите sin⁡∠BMC, если отрезок BM в 2,2 раза больше радиуса вписанной в треугольник ABC окружности.
    2. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  2. (реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2017 профильная математика основная волна) Точка M – середина гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC. Серединный перпендикуляр к гипотенузе пересекает катет BC в точке N. а) Докажите, что CAN=CMN. б) Найдите отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников ANB и CBM, если tgBAC=12/5.
    3. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  3. (Аналог Статград 2015) В треугольник ABC вписана окружность радиуса r, касающаяся стороны AC в точке M, причем AM=2r и CM=3r. а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный. б) Найдите расстояние между центрами его вписанной и описанной окружностей, если известно, что r=2.
    4. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  4. (реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2019 профильная математика основная волна) Точка O – центр вписанной в треугольник ABC окружности. Прямая BO вторично пересекает описанную около треугольника ABC окружность в точке P. а) Докажите, что POA=PAO. б) Найдите площадь треугольника APO, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 10, BAC=75°,ABC=60°.
    5. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  5. (реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2017 профильная математика основная волна) Две окружности с центрами O_1 и O_2 и радиусами 3 и 4 пересекаются в точках A и B, причем точки O_1 и O_2 лежат по разные стороны от прямой AB. Через точку A проведена прямая, вторично пересекающая эти окружности в точках M и K, причем точка A лежит между точками M и K. а) Докажите, что треугольники MBK и O_1 AO_2 подобны. б) Найдите расстояние от точки B до прямой MK, если MK=7, O_1 O_2=5.
    6. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  6. (реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2019 профильная математика основная волна) Точка O – центр вписанной в треугольник ABC окружности. Прямая BO вторично пересекает описанную около треугольника ABC окружность в точке P. а) Докажите, что OP=CP. б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если расстояние от точки P до прямой AC равно 18, ABC=60°.
    7. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  7. (реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2019 профильная математика основная волна) Из вершины C прямого угла прямоугольного треугольника ABC проведена высота CH. а) Докажите, что отношение площадей кругов, построенных на отрезках AH и BH соответственно как на диаметрах, равно tg^4ABC. б) Пусть точка O_1 – центр окружности диаметром AH, вторично пересекает отрезок AC в точке P. Точка O_2 – центр окружности диаметром BH, вторично пересекает отрезок BC в точке Q. Найдите площадь четырехугольника O_1 PQO_2, если AC=12,BC=10.
    8. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  8. (реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2015 профильная математика основная волна) Две окружности касаются внутренним образом в точке A, их радиусы относятся как 1 к 4. Хорды AB и AC большей окружности пересекают меньшую окружность в точках M и N соответственно. а) Докажите, что прямые BC и MN параллельны. б) Найти площадь трапеции MNCB, если BC касается меньшей окружности, радиус меньшей окружности равен 5 и BC=24.
    9. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)




  9. (реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2015 профильная математика основная волна) К окружности, вписанной в равносторонний треугольник ABC, проведена касательная, которая пересекает стороны AB и AC в точках M и N соответственно. а) Докажите, что периметр треугольника AMN равен стороне треугольника ABC. б) Прямая MN пересекает прямую BC в точке Q так, что MN перпендикулярно AB. Найти отношение площадей треугольников MBQ и AMN.
    10. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  10. В остроугольном треугольнике ABC угол A равен 60°. Высоты BB_1 и CC_1 треугольника ABC пересекаются в точке H. а) Докажите, что AH равно радиусу окружности, описанной вокруг треугольника ABC. б) Найдите BC, если AH=12.
    11. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  11. (Аналог досрочного ЕГЭ 2019) Две окружности разных радиусов касаются внешним образом в точке K. Прямая касается первой окружности в точке A, а второй окружности в точке B. Луч BK пересекает первую окружность в точке D, луч AK пересекает вторую окружность в точке С. а) Докажите, что четырехугольник ABCD – трапеция. б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника BCD, если радиус первой окружности равен 1, а радиус второй окружности равен 4
    12. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  12. (реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2019 профильная математика основная волна) В остроугольном треугольнике ABC угол A равен 60°. Высоты BN и CM треугольника ABC пересекаются в точке H. Точка O – центр окружности, описанной вокруг треугольника ABC. а) Докажите, что AH=AO. б) Найдите площадь треугольника AHO, если BC=6√3,ABC=45°.
    13. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  13. (Аналог Статград 2017) Высоты равнобедренного треугольника ABC с основанием AC пересекаются в точке H, угол B равен 30° градусов. Луч CH второй раз пересекает окружность ω, описанную вокруг треугольника ABH, в точке K. а) Докажите, что BA – биссектриса угла KBC. б) Отрезок BC пересекает окружность ω в точке E. Найдите CE, если AC=12.
    14. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  14. (реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2016 профильная математика основная волна) На катетах AC и BC прямоугольного треугольника ABC как на диаметрах построены окружности, которые второй раз пересекаются в точке M. На меньшей дуге MB взята точка Q. Прямая CQ второй раз пересекает окружность с диаметром AC в точке P. а) Докажите, что треугольники ABC и PQM подобны. б) Найдите площадь треугольника PQM, если AM=1, MB=3 и точка Q – середина дуги MB.
    15. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  15. Две окружности разного радиуса пересекаются в двух точках M и C, причем центры этих окружностей лежат по разные стороны от прямой MC. На большей дуге MC одной окружности взята точка Q так, что прямая QC пересекает другую окружность в точке P, и прямые PM и QM перпендикулярны. На окружности с хордой PC построен диаметр AC. Прямая AM второй раз пересекает другую окружность в точке B. а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный. б) Найти отношение площадей треугольников ABC и MPQ, если Q – середина меньшей дуги MB и ABC=30°.
    16. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  16. (реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2018 профильная математика основная волна) На боковых сторонах AB и AC равнобедренного треугольника ABC отложены равные отрезки AP и CQ соответственно. а) Докажите, что средняя линяя треугольника ABC, параллельная его основанию, проходит через середину отрезка PQ. б) Найдите длину отрезка прямой PQ, заключенного внутри вписанной окружности треугольника ABC, если AB=AC=BC=3√2,CQ=AP=√2.
    17. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  17. (реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2015 профильная математика основная волна) Две окружности касаются внешним образом. PK и LM – общие касательные к этим окружностям; P,K,L,M – точки касания. На прямых PK и LM взяты точки A и B соответственно так, что прямая AB касается большей окружности и перпендикулярна прямой PK. Прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает прямую AB в точке Q. а) Докажите, что AQ:QB=sin⁡B. б) Найдите AB, если радиусы окружностей равны 3 и 1.
    18. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  18. реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2017 профильная математика основная волна) В треугольник ABC, в котором длина стороны AC меньше длины стороны BC, вписана окружность с центром в точке O. Точка B_1 симметрична точке B относительно прямой CO. а) Докажите, что точки A,B,O и B_1 лежат на одной окружости. б) Найдите площадь четырехугольника AOBB_1, если AB=20,AC=12 и BC=16.
    19. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  19. (реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2015 профильная математика основная волна) В равнобедренном треугольнике ABC на стороне AC взята точка M и на отрезке BM как на диаметре построена окружность, которая второй раз пересекает основание BC в точке K так, что CK:KB=1:3. а) Докажите, что BM – медиана треугольника ABC. б) Пусть окружность пересекает сторону AB в точке N. Найти площадь треугольника ABC, если BN=11,CK=3.
    20. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)




Тема 5: Задачи с окружностями и четырехугольниками (многоугольниками)

  1. (реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2015 профильная математика основная волна) В трапецию ABCD с основаниями AD и BC вписана окружность с центром в точке O. а) Докажите, что sin⁡AOD=sin⁡BOC. б) Найдите площадь трапеции, если угол BAD прямой, а основания равны 5 и 7.
    2. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  2. (реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2018 профильная математика основная волна) Четырехугольник ABCD вписан в окружность радиуса R=8. Известно, что AB=BC=CD=12. а) Докажите, что прямая BC параллельна AD. б) Найдите AD.
    3. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  3. (реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2018 профильная математика основная волна) В трапеции ABCD с основаниями BC и AD углы ABD и ACD – прямые. а) Докажите, что AB=CD. б) Найдите AD, если AB=2,BC=7.
    4. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  4. (реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2018 профильная математика основная волна) Окружность проходит через вершины A,B и D параллелограмма ABCD, пересекает сторону BC в точках B и M и продолжение стороны CD за точку D в точке N. а) Докажите, что AM=AN. б) Найдите отношение CD∶DN, если AB∶BC=1∶3, а cos⁡BAD=0,4.
    5. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  5. (реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2021 профильная математика основная волна) Дан параллелограмм ABCD с острым углом A. На продолжении стороны AD за точку D взята точка N такая, что CN = CD, а на продолжении стороны CD за точку D взята такая точка M, что AD = AM. а) Докажите, что BM = BN. б) Найдите MN, если AC=7, sin⁡(BAD)=7/25.
    6. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  6. (реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2018 профильная математика основная волна) Окружность с центром O_1 касается оснований BC и AD и боковой стороны AB трапеции ABCD. Окружность с центром O_2 касается сторон BC, CD и AD. Известно, что AB=10,BC=9,CD=30,AD=39. а) Докажите, что прямая O_1 O_2 параллельна основаниям трапеции. б) Найдите O_1 O_2.
    7. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  7. (реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2016 профильная математика основная волна) Квадрат ABCD со стороной a вписан в окружность. Хорда CE пересекает его диагональ BD в точке K. а) Докажите, что CE∙CK=a^2. б) Найдите отношение BK к KE, если BKC=60°.
    8. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  8. (реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2021 профильная математика основная волна) Трапеция ABCD с большим основанием AD и высотой BH вписана в окружность. Прямая BH вторично пересекает эту окружность в точке K. а) Докажите, что прямые AC и AK перпендикулярны. б) Прямые CK и AD пересекаются в точке N. Найдите AD, если радиус окружности равен 12, ∠ BAC = 30°, а площадь четырёхугольника BCNH в 8 раз больше площади треугольника KNH.
    9. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  9. (Аналог Статград 2016) Дана трапеция KLMN с основаниями KN и LM. Окружности, построенные на боковых сторонах KL и MN как на диаметрах, пересекаются в точках A и B. а) Докажите, что средняя линия трапеции лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB. б) Найдите AB, если известно, что боковые стороны трапеции равны 26 и 28, а средняя линия трапеции равна 15.
    10. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  10. (реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2018 профильная математика основная волна) Окружность высекает на сторонах трапеции ABCD с основаниями AD и BC равные отрезки. Эта окружность пересекает боковую сторону AB в точках K и L. а) Докажите, что биссектрисы углов трапеции пересекаются в центре этой окружности. б) Найдите высоту трапеции, если AK=6,AL=10,BL=2.
    11. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)




  11. (Аналог досрочного ЕГЭ 2019 профильная математика) Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Точки M и N – середины сторон AB и CD соответственно. Окружность, проходящая через точки B и С, пересекает отрезки BM и CN в точках P и Q, отличных от концов отрезков, соответственно. а) Докажите, что точки M, N, P и Q лежат на одной окружности. б) Найдите QN, если отрезки DP и PC перпендикулярны, AB = 26, BC = 4,5, CD = 25, AD = 21,5.
    12. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  12. (реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2015 профильная математика основная волна) К окружности, вписанной в квадрат ABCD, проведена касательная, которая пересекает стороны AB и AD в точках M и N соответственно. а) Докажите, что периметр треугольника AMN равен стороне квадрата. б) Прямая MN пересекает прямую CD в точке P. В каком отношении делит отрезок BC прямая, проходящая через точку P и центр окружности, если AN:ND=1:2?
    13. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  13. (реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2017 профильная математика основная волна) В трапеции ABCD угол BAD прямой. Окружность, построенная на большем основании AD как на диаметре, пересекает меньшее основание BC в точках C и M. а) Докажите, что BAM=CAD. б) Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке O. Найдите площадь треугольника AOB, если AB=6, а BC=4BM.
    14. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  14. (реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2021 профильная математика основная волна) Точки A,B,C,D и E лежат на окружности в указанном порядке, причем AE=ED=CD, а прямые AC и BE перпендикулярны. Отрезки AC и BD пересекаются в точке T. а) Докажите, что прямая EC пересекает отрезок TD в его середине. б) Найдите площадь треугольника ABT, если BD=6, AE=√6.
    15. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  15. (реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2017 профильная математика основная волна) Окружность, вписанная в трапецию ABCD, касается ее боковых сторон AB и CD в точках M и N соответственно. Известно, что AM=6MB и 2DN=3CN. а) Докажите, что AD=3BC. б) Найдите длину отрезка MN, если радиус окружности равен √105.
    16. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  16. (Аналог Статград 2018) Окружность с центром O проходит через вершины B и C большей боковой стороны прямоугольной трапеции ABCD и касается боковой стороны AD в точке T. Точка O лежит внутри трапеции ABCD. а) Докажите, что угол BOC вдвое больше угла BTC. б) Найдите расстояние от точки T до прямой BC, если основания трапеции AB и CD равны 4 и 9 соответственно.
    17. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  17. (реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2015 профильная математика основная волна) Диагонали четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекаются в точке P, причем BC=CD. а) Докажите, что AD:DC=PD:PC. б) Найдите расстояние от точки O до прямой CD, где O – центр окружности, вписанной в треугольник BAD, если известно, что BD – диаметр, BD=12 и CDA=75°.
    18. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  18. (Аналог Статград 2018) Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Диаметр CC_1 перпендикулярен стороне AD и пересекает ее в точке M, а диаметр DD_1 перпендикулярен стороне AB и пересекает ее в точке N. а) Пусть AA_1 также диаметр окружности. Докажите, что DNM=A_1 D_1 D. б) Найдите углы четырехугольника ABCD, если CDB:ADB=3:8.
    19. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


нижняя шапка