верхняя шапка
help
реклама
MATHM >> ЕГЭ >> ЕГЭ профиль >>
Задача 17
картинка

ЗАДАЧА 17
сортировка
по сложности
ЗАДАЧА 17
сортировка
по темам

ЗАДАЧА 17
егэ профиль
сортировка по темам

СПИСОК ТЕМ
Тема 1: Реальные задачи ЕГЭ последних лет
Тема 2: Треугольники и их свойства
Тема 3: Четырехугольники и их свойства
Тема 4: Задачи с окружностями и треугольниками
Тема 5: Задачи с окружностями и четырехугольниками
(многоугольниками)

Задачи разделены на темы. Задачи из любой темы вполне реально встретить на настоящем экзамене ЕГЭ. Внутри каждой темы задачи мы постарались расположить по возрастанию сложности.




Тема 1: Реальные задачи ЕГЭ последних лет

  1. (номер задачи в базе 1017-72)

    	
	(реальная задача 17 досрочного ЕГЭ 2024 профильная математика) 
	(Аналог досрочного ЕГЭ 2024) Высоты BB_1 и CC_1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. 
а) Докажите, что ∠AHB_1=∠ACB.
б) Найдите BC, если AH=8√3 и ∠BAC=60°.
  2. посмотреть ответ




  3. (номер задачи в базе 1017-73)

    	
	(реальная задача 17 досрочного ЕГЭ 2024 профильная математика) 
		(Аналог досрочного ЕГЭ 2024) Высоты BB_1 и CC_1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. 
а) Докажите, что ∠BAH=∠BB_1 C_1.
б) Найдите расстояние от центра описанной окружности треугольника ABC до стороны BC, если B_1 C_1=18, а ∠BAC=30°.
  4. посмотреть ответ


  5. (номер задачи в базе 1017-69)

    	
	(реальная задача 17 (16) ЕГЭ 2023 профильная математика ) 
				(Аналог ЕГЭ 2023 основная волна) Прямая, перпендикулярная стороне BC ромба ABCD, пересекает его диагональ AC в точке M, а диагональ BD в точке N, причем AM∶MC=1∶2, BN∶ND=1∶3.
а) Докажите, что прямая MN делит сторону ромба BC в отношении 1:4.
б) Найдите сторону ромба, если MN=2√3.
  6. посмотреть ответ
    посмотреть решение 1 а)
    посмотреть решение 2 а)

    посмотреть решение б)


  7. (номер задачи в базе 1017-70)

    	
	(реальная задача 17 (16) ЕГЭ 2023 профильная математика досрочная волна) 
					(Аналог ЕГЭ 2023 основная волна) Биссектрисы углов BAD и BCD равнобедренной трапеции ABCD пересекаются в точке O. На боковых сторонах AB и CD отмечены точки M и N соответственно, так, что AM=MO, CN=NO.
а) Докажите, что точки M, O и N лежат на одной прямой.
б) Найдите отношение AM∶MB, если AO=CO и BC∶AD=1∶7.
  8. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  9. (номер задачи в базе 1017-71)

    	
	(реальная задача 17 (16) ЕГЭ 2023 профильная математика досрочная волна) 
					(Аналог ЕГЭ 2023 основная волна) На стороне AC равностороннего треугольника ABC отмечена точка M. Серединный перпендикуляр к отрезку BM пересекает стороны AB и BC в точках E и K соответственно.
а) Докажите, что ∠AEM=∠CMK.
б) Найдите отношение площадей треугольников AEM и CMK, если AM∶MC=1∶4.
  10. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  11. (номер задачи в базе 1017-67)

    	
	(реальная задача 17 (16) ЕГЭ 2023 профильная математика досрочная волна) 
				(Аналог реального ЕГЭ 2023) Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соответственно. 
а) Докажите, что прямые KM и BC параллельны. 
6) Пусть L – точка пересечения отрезков KM и AP. Найдите AL, если радиус большей окружности равен 10, а BC = 16.
  12. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение 1 б)

    посмотреть решение 2 б)


  13. (номер задачи в базе 1017-68)

    	(реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2022 профильная математика основная волна) 
			На стороне BC параллелограмма ABCD выбрана точка M такая, что AM=MC.
а) Докажите, что центр вписанной в треугольник AMD окружности лежит на диагонали AC.
б) Найдите радиус вписанной в треугольник AMD окружности, если AB=5,BC=10,∠BAD=60°.
  14. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  15. (номер задачи в базе 1017-66)

    	(реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2022 профильная математика основная волна) 
			На стороне BC параллелограмма ABCD выбрана точка M такая, что AM=MC.
а) Докажите, что центр вписанной в треугольник AMD окружности лежит на диагонали AC.
б) Найдите радиус вписанной в треугольник AMD окружности, если AB=5,BC=10,∠BAD=60°.
  16. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  17. (номер задачи в базе 1017-65)

    	(реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2022 профильная математика основная волна) 
		В параллелограмме ABCD угол BAC вдвое больше угла CAD. Биссектриса угла BAC пересекает отрезок BC в точке L. На продолжении стороны CD за точку D выбрана такая точка E, что CE=AE.
а) Докажите, что AL∙BC=AB∙AC.
б)  Найдите EL, если tg⁡〖∠BCA=0,5〗, AC=8.
  18. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  19. (номер задачи в базе 1017-64)

    	(реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2022 профильная математика основная волна) 
		Биссектриса BB_1 и высота CC_1 треугольника ABC пересекают описанную кружность в точках M и N. Известно, что ∠BCA=85° и ∠ABC=40° 
а) Докажите, что CN = BM.
б) Пусть MN и BC пересекаются в точке D. Найти площадь треугольника BDN, если его высота BH равна 7.
  20. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  21. (номер задачи в базе 1017-60)

    	(реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2021 профильная математика основная волна) 
		Точки A,B,C,D и E лежат на окружности в указанном порядке, причем AE=ED=CD, а прямые AC и BE перпендикулярны. Отрезки AC и BD пересекаются в точке T.
а) Докажите, что прямая EC пересекает отрезок TD в его середине.
б) Найдите площадь треугольника ABT, если BD=6, AE=√6.
  22. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  23. (номер задачи в базе 1017-61)

    	(реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2021 профильная математика основная волна) 
		Дан параллелограмм ABCD с острым углом A. На продолжении стороны AD за точку D взята точка N такая, что CN = CD, а на продолжении стороны CD за точку D взята такая точка M, что AD = AM.
а) Докажите, что BM = BN.
б) Найдите MN, если AC=7,   sin⁡(BAD)=7/25.
  24. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  25. (номер задачи в базе 1017-62)

    	(реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2021 профильная математика основная волна) 
		Трапеция ABCD с большим основанием AD и высотой BH вписана в окружность. Прямая BH вторично пересекает эту окружность в точке K.
а) Докажите, что прямые AC и AK перпендикулярны.
б) Прямые CK и AD пересекаются в точке N. Найдите AD, если радиус окружности равен 12, ∠ BAC = 30°, а площадь четырёхугольника BCNH в 8 раз больше площади треугольника KNH.
  26. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  27. (номер задачи в базе 1017-63)

    	(реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2021 профильная математика основная волна) 
		Окружность с центром O, построенная на катете AC прямоугольного треугольника ABC как на диаметре, пересекает гипотенузу AB в точках A и D. Касательная, проведенная к этой окружности в точке D, пересекает катет BC в точке M. 
а) Докажите, что BM=CM.
б) Прямая DM пересекает прямую AC в точке P, прямая OM пересекает 
прямую BP в точке K. Найдите BK:KP, если cos⁡〖∠BAC〗=(2√5)/5.
  28. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  29. (номер задачи в базе 1017-59)

    	(реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2020 профильная математика основная волна) Две окружности касаются внутренним образом в точке C. Вершины A и B равнобедренного прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая AC вторично пересекает большую окружность в точке E, а прямая BC вторично пересекает меньшую окружность в точке D.
а) Докажите, что прямые AD и BE параллельны.
б) Найдите AC, если радиусы окружностей равны 8 и 15.
  30. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)




  31. (номер задачи в базе 1017-55)

    	(реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2020 профильная математика основная волна) 	На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC отмечны точки C_1, A_1 и B_1 соответственно, причем  AC_1:C_1 B=8:3, BA_1:A_1 C= 1:2, AB_1:B_1 C= 1:3. Отрезки BB_1 и CC_1 пересекаются в точке D. 
а) Докажите, что ADA_1 B_1 – параллелограмм. 
б) Найдите CD, если отрезки AD и BC перпендикулярны, AC=28, BC=18.
  32. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  33. (номер задачи в базе 1017-56)

    	(реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2020 профильная математика основная волна) В треугольнике ABC угол A равен 120°. Прямые, содержащие высоты BM и CN треугольника ABC, пересекаются в точке H. Точка O – центр окружности, описанной около треугольника ABC.
а) Докажите, что AH=AO. 
б) Найдите площадь треугольника AHO, если BC=√15, ∠ABC=45°.
  34. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  35. (номер задачи в базе 1017-57)

    	(реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2019 профильная математика основная волна) 	В остроугольном треугольнике ABC проведены высота CC_1 и медиана AA_1, причем точки A,C,A_1 и C_1 лежат на одной окружности.
а) Докажите, что треугольник ABC – равнобедренный.  
б) Найдите площадь треугольника ABC, если AA_1:CC_1  = 3:2 и A_1 C_1=2.
  36. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  37. (номер задачи в базе 1017-36)

    	(реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2019 профильная математика основная волна) Точка O – центр вписанной в треугольник ABC окружности. Прямая BO вторично пересекает описанную около треугольника ABC окружность в точке P. 
а) Докажите, что POA=PAO. 
б) Найдите площадь треугольника APO, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 10, BAC=75°,ABC=60°.
  38. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  39. (номер задачи в базе 1017-37)

    	(реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2019 профильная математика основная волна) Точка O – центр вписанной в треугольник ABC окружности. Прямая BO вторично пересекает описанную около треугольника ABC окружность в точке P. 
а) Докажите, что OP=CP. 
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если расстояние от точки P до прямой AC равно 18, ABC=60°.
  40. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  41. (номер задачи в базе 1017-40)

    	(реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2019 профильная математика основная волна) Из вершины C прямого угла прямоугольного треугольника ABC проведена высота CH.
а) Докажите, что отношение площадей кругов, построенных на отрезках AH и BH соответственно как на диаметрах, равно tg^4ABC.
б) Пусть точка O_1 – центр окружности диаметром AH, вторично пересекает отрезок AC в точке P. Точка O_2 – центр окружности диаметром BH, вторично пересекает отрезок BC в точке Q. Найдите площадь четырехугольника O_1 PQO_2, если AC=12,BC=10.
  42. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  43. (номер задачи в базе 1017-35)

    	(Аналог досрочного ЕГЭ 2019) Две окружности разных радиусов касаются внешним образом в точке K. Прямая касается первой окружности в точке A, а второй окружности в точке B. Луч BK пересекает первую окружность в точке D, луч AK пересекает вторую окружность в точке С. 
а) Докажите, что четырехугольник ABCD – трапеция. 
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника BCD, если радиус первой окружности равен 1, а радиус второй окружности равен 4
  44. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  45. (номер задачи в базе 1017-34)

    		(Аналог досрочного ЕГЭ 2019 профильная математика) Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Точки M и N – середины сторон AB и CD соответственно. Окружность, проходящая через точки B и С, пересекает отрезки BM и CN в точках P и Q, отличных от концов отрезков, соответственно.
а) Докажите, что точки M, N, P и Q лежат на одной окружности.
б) Найдите QN, если отрезки DP и PC перпендикулярны, 
AB = 26, BC = 4,5, CD = 25, AD = 21,5.
  46. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  47. (номер задачи в базе 1017-38)

    		(реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2019 профильная математика основная волна) В остроугольном треугольнике ABC угол A равен 60°. Высоты BN и CM треугольника ABC пересекаются в точке H. Точка O – центр окружности, описанной вокруг треугольника ABC.
а) Докажите, что AH=AO.
б) Найдите площадь треугольника AHO, если BC=6√3,ABC=45°.
  48. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  49. (номер задачи в базе 1017-43)

    (реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2018 профильная математика основная волна) Четырехугольник ABCD вписан в окружность радиуса R=8. Известно, что AB=BC=CD=12. 
а) Докажите, что прямая BC параллельна AD.
б) Найдите AD.
  50. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)




  51. (номер задачи в базе 1017-44)

    	(реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2018 профильная математика основная волна) В трапеции ABCD с основаниями BC и AD углы ABD и ACD – прямые. 
а) Докажите, что AB=CD.
б) Найдите AD, если AB=2,BC=7.
  52. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  53. (номер задачи в базе 1017-41)

    	(реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2018 профильная математика основная волна) Окружность проходит через вершины A,B и D параллелограмма ABCD, пересекает сторону BC в точках B и M и продолжение стороны CD за точку D в точке N. 
а) Докажите, что AM=AN.
б) Найдите отношение CD∶DN, если AB∶BC=1∶3, а cos⁡BAD=0,4.
  54. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  55. (номер задачи в базе 1017-42)

    	(реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2018 профильная математика основная волна) Окружность с центром O_1 касается оснований BC и AD и боковой стороны AB трапеции ABCD. Окружность с центром O_2 касается сторон BC, CD и AD. Известно, 
что AB=10,BC=9,CD=30,AD=39. 
а) Докажите, что прямая O_1 O_2  параллельна основаниям трапеции.
б) Найдите O_1 O_2.
  56. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  57. (номер задачи в базе 1017-45)

    		(реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2018 профильная математика основная волна) Окружность высекает на сторонах трапеции ABCD с основаниями AD и BC равные отрезки. Эта окружность пересекает боковую сторону AB в точках K и L. 
а) Докажите, что биссектрисы углов трапеции пересекаются в центре этой окружности.
б) Найдите высоту трапеции, если AK=6,AL=10,BL=2.
  58. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  59. (номер задачи в базе 1017-46)

    			(реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2018 профильная математика основная волна) На боковых сторонах AB и AC равнобедренного треугольника ABC отложены равные отрезки AP и CQ соответственно. 
а) Докажите, что средняя линяя треугольника ABC, параллельная его основанию, проходит через середину отрезка PQ. 
б) Найдите длину отрезка прямой PQ, заключенного внутри вписанной окружности треугольника ABC, если 
AB=AC=BC=3√2,CQ=AP=√2.
  60. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  61. (номер задачи в базе 1017-52)

    			(реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2017 профильная математика основная волна) Точка M – середина гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC. Серединный перпендикуляр к гипотенузе пересекает катет BC в точке N.  
а) Докажите, что CAN=CMN. 
б) Найдите отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников ANB и CBM, если tgBAC=12/5.
  62. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  63. (номер задачи в базе 1017-47)

    								(реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2017 профильная математика основная волна) Две окружности с центрами O_1 и O_2 и радиусами 3 и 4 пересекаются в точках A и B, причем точки O_1 и O_2 лежат по разные стороны от прямой AB. Через точку A проведена прямая, вторично пересекающая эти окружности в точках M и K, причем точка A лежит между точками M и K. 
а) Докажите, что треугольники MBK и  O_1 AO_2 подобны. 
б) Найдите расстояние от точки B до прямой MK, если MK=7, O_1 O_2=5.
  64. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  65. (номер задачи в базе 1017-48)

    	(реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2017 профильная математика основная волна) В трапеции ABCD основание AD в два раза больше основания BC. Внутри трапеции взяли точку M так, что углы ABM и DCM прямые. 
а) Докажите, что AM=DM. 
б) Найдите угол BAD, если угол ADC равен 55°, а расстояние от точки M до прямой  AD равно стороне BC.
  66. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  67. (номер задачи в базе 1017-49)

    	(реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2017 профильная математика основная волна) В трапеции ABCD угол BAD прямой. Окружность, построенная на большем основании AD как на диаметре, пересекает меньшее основание BC в точках C и M.
а) Докажите, что BAM=CAD. 
б) Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке O. Найдите  площадь треугольника AOB, если AB=6, а BC=4BM.
  68. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  69. (номер задачи в базе 1017-50)

    	(реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2017 профильная математика основная волна) Окружность, вписанная  в трапецию ABCD, касается ее боковых сторон AB и CD в точках M и N соответственно. Известно, что AM=6MB и 2DN=3CN. 
а) Докажите, что AD=3BC. 
б) Найдите длину отрезка MN, если радиус окружности равен √105.
  70. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)




  71. (номер задачи в базе 1017-51)

    		реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2017 профильная математика основная волна) В треугольник ABC, в котором длина стороны AC меньше длины стороны BC, вписана окружность с центром в точке O. Точка B_1 симметрична точке B относительно прямой CO.  
а) Докажите, что точки A,B,O и B_1 лежат на одной окружости. 
б) Найдите площадь четырехугольника AOBB_1, если AB=20,AC=12 
и BC=16.
  72. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  73. (номер задачи в базе 1017-53)

    	(Аналог Статград 2017) Прямая, проходящая через середину M гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC,  пересекает катет AC в точке K и перпендикулярна CM. Пусть прямые MK и BC пересекаются в точке P 
и CM=BP. 
а) Докажите, что BAC=30°.
б) Пусть прямые AP и BK пересекаются в точке Q. Найдите QP, 
если BC=√7.
  74. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  75. (номер задачи в базе 1017-7)

    (реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2016 профильная математика основная волна) Квадрат ABCD со стороной a вписан в окружность. Хорда CE пересекает его диагональ BD в точке K. 
а) Докажите, что CE∙CK=a^2.
б) Найдите отношение BK к KE, если BKC=60°.
  76. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  77. (номер задачи в базе 1017-6)

    	(реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2016 профильная математика основная волна) В остроугольном треугольнике ABC точка O - центр вписанной окружности, точка K - центр описанной окружности. Угол AOC равен 120°.
а) Докажите, что точки A, C, O, K лежат на одной окружности.
б) Пусть H – точка пересечения высот треугольника ABC и BAC=70°. Найдите угол HKO.
  78. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  79. (номер задачи в базе 1017-8)

    	(реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2016 профильная математика основная волна) В прямоугольном треугольнике ABC угол A больше угла B, точки M и N – середины  гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла A пересекает прямую MN в точке L. Прямая AL пересекает катет BC в точке K.
а) Докажите, что треугольники ACK и ALB подобны.
б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если 
cos⁡CAB=7/25.
  80. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  81. (номер задачи в базе 1017-10)

    	(реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2016 профильная математика основная волна) На катетах AC и BC прямоугольного треугольника ABC как на диаметрах построены окружности, которые второй раз пересекаются в точке M. На меньшей дуге MB взята точка Q. Прямая CQ второй раз пересекает окружность с диаметром AC в точке P.
а) Докажите, что треугольники ABC и PQM подобны.
б) Найдите площадь треугольника PQM, если AM=1, MB=3 и 
точка Q  – середина дуги MB.
  82. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)




Тема 2: Треугольники и их свойства

  1. (номер задачи в базе 1017-25)

    	(Аналог Статград 2016) Дана трапеция KLMN с основаниями KN и LM. Окружности, построенные на боковых сторонах KL и MN как на диаметрах, пересекаются в точках A и B.
а) Докажите, что средняя линия трапеции лежит на серединном перпендикуляре к 
отрезку AB.
б) Найдите AB, если известно, что боковые стороны трапеции равны 26 и 28, а средняя линия трапеции равна 15.
  2. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  3. (номер задачи в базе 1017-2)

    		В остроугольном треугольнике ABC проведены  высоты AK и CM. Из точки M на сторону BC опущен перпендикуляр ME, а из точки K на сторону AB опущен перпендикуляр KH. 
а) Докажите, что прямые AC и EH параллельны.
б) Найдите отношение AC к EH, если угол ABC равен 30°.
  4. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  5. (номер задачи в базе 1017-4)

    			В остроугольном треугольнике ABC проведены  высоты AK и CM. На них из точек M и K опущены перпендикуляры ME и KH соответственно. 
а) Докажите, что прямые AC и EH параллельны.
б) Найдите отношение EH к AC, если угол ABC равен 30°.
  6. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  7. (номер задачи в базе 1017-9)

    	В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N – середины катетов AC и BC соответственно. CH – высота, точка H делит гипотенузу AB в отношении 2:1 считая от вершины A. Пусть Q – точка пересечения прямых MH и CB, а P – точка пересечения прямых HN и AC. 
а) Докажите, что треугольники MHP и MCQ равны.
б) Найдите площадь треугольника MHP, если AH=2.
  8. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  9. (номер задачи в базе 1017-48)

    	(реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2017 профильная математика основная волна) В трапеции ABCD основание AD в два раза больше основания BC. Внутри трапеции взяли точку M так, что углы ABM и DCM прямые. 
а) Докажите, что AM=DM. 
б) Найдите угол BAD, если угол ADC равен 55°, а расстояние от точки M до прямой  AD равно стороне BC.
  10. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  11. (номер задачи в базе 1017-33)

    	В треугольник ABC вписана окружность, отрезок MN с концами на сторонах AB и BC соответственно касается этой окружности, причем MN∥AC.  
а) Докажите, что AC=3MN, если сторона AC в три раза меньше периметра треугольника ABC.
б) Найдите AC, если MN=3 и периметр трегольника ABC равен 24.
  12. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  13. (номер задачи в базе 1017-1)

    	В остроугольном треугольнике ABC угол B равен 60°. O - центр вписанной окружности, K - центр описанной окружности. 
а) Докажите, что точки A,C,O,K лежат на одной окружности.
б) Пусть H - точка пересечения высот треугольника ABC и BAC=80°. Найдите угол OHK.
  14. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  15. (номер задачи в базе 1017-28)

    	(Аналог Статград 2016) Первая окружность с центром O, вписанная в равнобедренный треугольник KLM, касается боковой стороны KL в точке B, а основания ML – в точке A. Вторая окружность с центром O_1 касается основания ML и продолжений боковых сторон.
а) Докажите, что треугольник OLO_1 прямоугольный.
б) Найдите радиус второй окружности, если известно, что радиус первой равен 6 и AK=16.
  16. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  17. (номер задачи в базе 1017-31)

    	(Аналог Статград 2016)  Дан треугольник ABC. Серединный перпендикуляр к стороне AB пересекается с биссектрисой угла BAC в точке K, лежащей на стороне BC.
а) Докажите, что AC^2=BC∙CK.
б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник AKB, 
если cos⁡B=2/3, AC=36, а площадь треугольника AKC  равна 126√5.
  18. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  19. (номер задачи в базе 1017-6)

    	(реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2016 профильная математика основная волна) В остроугольном треугольнике ABC точка O - центр вписанной окружности, точка K - центр описанной окружности. Угол AOC равен 120°.
а) Докажите, что точки A, C, O, K лежат на одной окружности.
б) Пусть H – точка пересечения высот треугольника ABC и BAC=70°. Найдите угол HKO.
  20. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)




  21. (номер задачи в базе 1017-5)

    	В прямоугольном треугольнике ABC угол A больше угла B, точки M и N – середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла A пересекает прямую MN в точке L. 
а) Докажите, что треугольники BLC  и AML подобны.
б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если  
cosCAB=7/25.
  22. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  23. (номер задачи в базе 1017-8)

    	(реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2016 профильная математика основная волна) В прямоугольном треугольнике ABC угол A больше угла B, точки M и N – середины  гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла A пересекает прямую MN в точке L. Прямая AL пересекает катет BC в точке K.
а) Докажите, что треугольники ACK и ALB подобны.
б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если 
cos⁡CAB=7/25.
  24. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  25. (номер задачи в базе 1017-19)

    		(реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2015 профильная математика основная волна) Пусть N – середина гипотенузы прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C. Высота треугольника BCM пересекает прямую AB в точке N, причем точки N и M лежат по разные стороны прямой BC.
а) Докажите, что треугольник BCM – равнобедренный.
б) Прямая, параллельная BC и проходящая через точку N, пересекает прямую CM в точке K. Найдите площадь четырехугольника ABMK, если CK/CM=3/4 и площадь треугольника NBP равна 12.
  26. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  27. (номер задачи в базе 1017-11)

    		В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N – середины катетов AC и BC соответственно. CH – высота, точка H делит гипотенузу  AB в отношении 2∶1 считая от вершины A. Точка Q – точка пересечения прямых MH и CB, а точка P – точка пересечения прямых HN и AC. 
а) Докажите, что CHQP – равнобедренная трапеция.
б) Найдите площадь CHQP, если AH=2.
  28. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  29. (номер задачи в базе 1017-23)

    	(Аналог Статград 2017) Прямая, проходящая через середину M гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC,  пересекает катет AC в точке K и перпендикулярна CM. Пусть прямые MK и BC пересекаются в точке P 
и CM=BP. 
а) Докажите, что BAC=30°.
б) Пусть прямые AP и BK пересекаются в точке Q. Найдите QP, 
если BC=√7.
  30. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  31. (номер задачи в базе 1017-53)

    	(Аналог Статград 2017) Прямая, проходящая через середину M гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC,  пересекает катет AC в точке K и перпендикулярна CM. Пусть прямые MK и BC пересекаются в точке P 
и CM=BP. 
а) Докажите, что BAC=30°.
б) Пусть прямые AP и BK пересекаются в точке Q. Найдите QP, 
если BC=√7.
  32. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


Тема 3: Четырехугольники и их свойства

  1. (номер задачи в базе 1017-24)

    		(Аналог Статград 2016) Диагональ BD четырехугольника ABCD с параллельными основаниями AD и BC разбивает его на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и DC.
а) Докажите, что луч AC – биссектриса угла BAD.
б) Найдите CD, если известны диагонали четырехугольника 
BD=5 и AC=8.
  2. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  3. (номер задачи в базе 1017-54)

    		Прямая, проходящая через вершину B прямоугольника ABCD перпендикулярно диагонали AC, пересекает сторону AD в точке M, равноудаленной от вершины B и D. 
а) Докажите, что лучи BM и BD делят угол ABC на три равные части.
б) Найдите расстояние от центра прямоугольника до прямой CM, 
если BC=6√21.
  4. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  5. (номер задачи в базе 1017-29)

    	(Аналог Статград 2018) В равнобедренной трапеции ABCD основание AD в три раза больше основания BC.
а) Докажите, что высота CH трапеции разбивает основание AD на отрезки, один из которых вдвое больше другого.
б) Найдите расстояние от вершины C до середины диагонали BD, если 
AD=18 и AC=4√13.
  6. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)





  7. (номер задачи в базе 1017-63)

    	(реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2021 профильная математика основная волна) 
		Окружность с центром O, построенная на катете AC прямоугольного треугольника ABC как на диаметре, пересекает гипотенузу AB в точках A и D. Касательная, проведенная к этой окружности в точке D, пересекает катет BC в точке M. 
а) Докажите, что BM=CM.
б) Прямая DM пересекает прямую AC в точке P, прямая OM пересекает 
прямую BP в точке K. Найдите BK:KP, если cos⁡〖∠BAC〗=(2√5)/5.
  8. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  9. (номер задачи в базе 1017-22)

    		(Аналог Статград 2017) Прямая, проходящая через вершину B прямоугольника ABCD перпендикулярно диагонали AC, пересекает сторону AD в точке M, равноудаленной от вершин B и D.
а) Докажите, что лучи BM и BD делят угол ABC на три равные части.
б) Найдите расстояние от центра прямоугольника до прямой CM, 
если BC=6√21.
  10. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


Тема 4: Задачи с окружностями и треугольниками

  1. (номер задачи в базе 1017-3)

    	В прямоугольный треугольник ABC вписана окружность, которая касается гипотенузы AC в точке M. 
а) Докажите, что отрезок BM меньше утроенного радиуса вписанной окружности.
б) Найдите sin⁡∠BMC, если отрезок BM в 2,2 раза больше радиуса вписанной в треугольник ABC окружности.
  2. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  3. (номер задачи в базе 1017-52)

    			(реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2017 профильная математика основная волна) Точка M – середина гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC. Серединный перпендикуляр к гипотенузе пересекает катет BC в точке N.  
а) Докажите, что CAN=CMN. 
б) Найдите отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников ANB и CBM, если tgBAC=12/5.
  4. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  5. (номер задачи в базе 1017-27)

    	(Аналог Статград 2015) В треугольник ABC вписана окружность радиуса r, касающаяся стороны AC в точке M, причем AM=2r и CM=3r.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите расстояние между центрами его вписанной и описанной окружностей, если известно, что r=2.
  6. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  7. (номер задачи в базе 1017-36)

    					(реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2019 профильная математика основная волна) Точка O – центр вписанной в треугольник ABC окружности. Прямая BO вторично пересекает описанную около треугольника ABC окружность в точке P. 
а) Докажите, что POA=PAO. 
б) Найдите площадь треугольника APO, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 10, BAC=75°,ABC=60°.
  8. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  9. (номер задачи в базе 1017-47)

    								(реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2017 профильная математика основная волна) Две окружности с центрами O_1 и O_2 и радиусами 3 и 4 пересекаются в точках A и B, причем точки O_1 и O_2 лежат по разные стороны от прямой AB. Через точку A проведена прямая, вторично пересекающая эти окружности в точках M и K, причем точка A лежит между точками M и K. 
а) Докажите, что треугольники MBK и  O_1 AO_2 подобны. 
б) Найдите расстояние от точки B до прямой MK, если MK=7, O_1 O_2=5.
  10. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  11. (номер задачи в базе 1017-37)

    						(реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2019 профильная математика основная волна) Точка O – центр вписанной в треугольник ABC окружности. Прямая BO вторично пересекает описанную около треугольника ABC окружность в точке P. 
а) Докажите, что OP=CP. 
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если расстояние от точки P до прямой AC равно 18, ABC=60°.
  12. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  13. (номер задачи в базе 1017-40)

    							(реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2019 профильная математика основная волна) Из вершины C прямого угла прямоугольного треугольника ABC проведена высота CH.
а) Докажите, что отношение площадей кругов, построенных на отрезках AH и BH соответственно как на диаметрах, равно tg^4ABC.
б) Пусть точка O_1 – центр окружности диаметром AH, вторично пересекает отрезок AC в точке P. Точка O_2 – центр окружности диаметром BH, вторично пересекает отрезок BC в точке Q. Найдите площадь четырехугольника O_1 PQO_2, если AC=12,BC=10.
  14. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  15. (номер задачи в базе 1017-20)

    	(реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2015 профильная математика основная волна) Две окружности касаются внутренним образом в точке A, их радиусы относятся как 1 к 4. Хорды AB и AC большей окружности пересекают меньшую окружность в точках M и N соответственно.
а) Докажите, что прямые BC и MN параллельны.
б) Найти площадь трапеции MNCB, если BC касается меньшей окружности, радиус меньшей окружности равен 5 и BC=24.
  16. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)




  17. (номер задачи в базе 1017-14)

    	(реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2015 профильная математика основная волна) К окружности, вписанной в равносторонний треугольник  ABC,  проведена касательная, которая пересекает стороны AB и AC в точках M и N соответственно.
а) Докажите, что периметр треугольника AMN равен стороне треугольника ABC.
б) Прямая MN пересекает прямую BC в точке Q так, что MN перпендикулярно AB. Найти отношение площадей треугольников MBQ и AMN.
  18. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  19. (номер задачи в базе 1017-39)

    		В остроугольном треугольнике ABC угол A равен 60°. Высоты BB_1 и CC_1 треугольника ABC пересекаются в точке H. 
а) Докажите, что AH равно радиусу окружности, описанной вокруг треугольника ABC.
б) Найдите BC, если AH=12.
  20. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  21. (номер задачи в базе 1017-35)

    	(Аналог досрочного ЕГЭ 2019) Две окружности разных радиусов касаются внешним образом в точке K. Прямая касается первой окружности в точке A, а второй окружности в точке B. Луч BK пересекает первую окружность в точке D, луч AK пересекает вторую окружность в точке С. 
а) Докажите, что четырехугольник ABCD – трапеция. 
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника BCD, если радиус первой окружности равен 1, а радиус второй окружности равен 4
  22. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  23. (номер задачи в базе 1017-38)

    		(реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2019 профильная математика основная волна) В остроугольном треугольнике ABC угол A равен 60°. Высоты BN и CM треугольника ABC пересекаются в точке H. Точка O – центр окружности, описанной вокруг треугольника ABC.
а) Докажите, что AH=AO.
б) Найдите площадь треугольника AHO, если BC=6√3,ABC=45°.
  24. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  25. (номер задачи в базе 1017-30)

    	(Аналог Статград 2017)  Высоты равнобедренного треугольника ABC с основанием AC пересекаются в точке H, угол B равен 30° градусов. Луч CH второй раз пересекает окружность ω, описанную вокруг треугольника ABH, в точке K.
а) Докажите, что BA – биссектриса угла KBC.
б) Отрезок BC пересекает окружность ω в точке E. Найдите CE, 
если AC=12.
  26. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  27. (номер задачи в базе 1017-10)

    	(реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2016 профильная математика основная волна) На катетах AC и BC прямоугольного треугольника ABC как на диаметрах построены окружности, которые второй раз пересекаются в точке M. На меньшей дуге MB взята точка Q. Прямая CQ второй раз пересекает окружность с диаметром AC в точке P.
а) Докажите, что треугольники ABC и PQM подобны.
б) Найдите площадь треугольника PQM, если AM=1, MB=3 и 
точка Q  – середина дуги MB.
  28. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  29. (номер задачи в базе 1017-12)

    	Две окружности разного радиуса пересекаются  в двух точках M и C, причем центры этих окружностей лежат по разные стороны от прямой MC. На большей дуге MC одной окружности взята точка Q так, что прямая QC пересекает другую окружность в точке P, и прямые  PM и QM перпендикулярны. На окружности с хордой PC построен диаметр AC. Прямая AM второй раз пересекает другую окружность в точке B.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найти отношение площадей треугольников ABC и MPQ, если Q – середина меньшей дуги MB и ABC=30°.
  30. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  31. (номер задачи в базе 1017-46)

    			(реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2018 профильная математика основная волна) На боковых сторонах AB и AC равнобедренного треугольника ABC отложены равные отрезки AP и CQ соответственно. 
а) Докажите, что средняя линяя треугольника ABC, параллельная его основанию, проходит через середину отрезка PQ. 
б) Найдите длину отрезка прямой PQ, заключенного внутри вписанной окружности треугольника ABC, если 
AB=AC=BC=3√2,CQ=AP=√2.
  32. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  33. (номер задачи в базе 1017-16)

    	(реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2015 профильная математика основная волна) Две окружности касаются внешним образом. PK и LM – общие  касательные к этим окружностям; P,K,L,M – точки касания. На прямых PK и LM взяты точки A и B соответственно так, что прямая AB касается большей окружности и перпендикулярна прямой PK.  Прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает прямую AB в точке Q.
а) Докажите, что AQ:QB=sin⁡B.
б) Найдите AB, если радиусы окружностей равны 3 и 1.
  34. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  35. (номер задачи в базе 1017-51)

    		реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2017 профильная математика основная волна) В треугольник ABC, в котором длина стороны AC меньше длины стороны BC, вписана окружность с центром в точке O. Точка B_1 симметрична точке B относительно прямой CO.  
а) Докажите, что точки A,B,O и B_1 лежат на одной окружости. 
б) Найдите площадь четырехугольника AOBB_1, если AB=20,AC=12 
и BC=16.
  36. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  37. (номер задачи в базе 1017-15)

    		(реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2015 профильная математика основная волна) В равнобедренном треугольнике ABC на стороне AC взята точка M и на отрезке BM как на диаметре построена окружность, которая второй раз пересекает основание BC в точке K так, что CK:KB=1:3.
а) Докажите, что BM – медиана треугольника ABC.
б) Пусть окружность пересекает сторону AB в точке N. Найти площадь треугольника ABC, если BN=11,CK=3.
  38. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)




Тема 5: Задачи с окружностями и четырехугольниками (многоугольниками)

  1. (номер задачи в базе 1017-17)

    	(реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2015 профильная математика основная волна) В трапецию ABCD с основаниями AD и BC вписана окружность с центром в точке O.
а) Докажите, что sin⁡AOD=sin⁡BOC.
б) Найдите площадь трапеции, если угол BAD прямой, а основания равны 5 и 7.
  2. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  3. (номер задачи в базе 1017-43)

    (реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2018 профильная математика основная волна) Четырехугольник ABCD вписан в окружность радиуса R=8. Известно, что AB=BC=CD=12. 
а) Докажите, что прямая BC параллельна AD.
б) Найдите AD.
  4. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  5. (номер задачи в базе 1017-44)

    	(реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2018 профильная математика основная волна) В трапеции ABCD с основаниями BC и AD углы ABD и ACD – прямые. 
а) Докажите, что AB=CD.
б) Найдите AD, если AB=2,BC=7.
  6. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  7. (номер задачи в базе 1017-41)

    	(реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2018 профильная математика основная волна) Окружность проходит через вершины A,B и D параллелограмма ABCD, пересекает сторону BC в точках B и M и продолжение стороны CD за точку D в точке N. 
а) Докажите, что AM=AN.
б) Найдите отношение CD∶DN, если AB∶BC=1∶3, а cos⁡BAD=0,4.
  8. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  9. (номер задачи в базе 1017-61)

    	(реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2021 профильная математика основная волна) 
		Дан параллелограмм ABCD с острым углом A. На продолжении стороны AD за точку D взята точка N такая, что CN = CD, а на продолжении стороны CD за точку D взята такая точка M, что AD = AM.
а) Докажите, что BM = BN.
б) Найдите MN, если AC=7,   sin⁡(BAD)=7/25.
  10. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  11. (номер задачи в базе 1017-42)

    	(реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2018 профильная математика основная волна) Окружность с центром O_1 касается оснований BC и AD и боковой стороны AB трапеции ABCD. Окружность с центром O_2 касается сторон BC, CD и AD. Известно, 
что AB=10,BC=9,CD=30,AD=39. 
а) Докажите, что прямая O_1 O_2  параллельна основаниям трапеции.
б) Найдите O_1 O_2.
  12. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  13. (номер задачи в базе 1017-7)

    (реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2016 профильная математика основная волна) Квадрат ABCD со стороной a вписан в окружность. Хорда CE пересекает его диагональ BD в точке K. 
а) Докажите, что CE∙CK=a^2.
б) Найдите отношение BK к KE, если BKC=60°.
  14. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  15. (номер задачи в базе 1017-62)

    	(реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2021 профильная математика основная волна) 
		Трапеция ABCD с большим основанием AD и высотой BH вписана в окружность. Прямая BH вторично пересекает эту окружность в точке K.
а) Докажите, что прямые AC и AK перпендикулярны.
б) Прямые CK и AD пересекаются в точке N. Найдите AD, если радиус окружности равен 12, ∠ BAC = 30°, а площадь четырёхугольника BCNH в 8 раз больше площади треугольника KNH.
  16. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  17. (номер задачи в базе 1017-26)

    		(Аналог Статград 2016) Дана трапеция KLMN с основаниями KN и LM. Окружности, построенные на боковых сторонах KL и MN как на диаметрах, пересекаются в точках A и B.
а) Докажите, что средняя линия трапеции лежит на серединном перпендикуляре к 
отрезку AB.
б) Найдите AB, если известно, что боковые стороны трапеции равны 26 и 28, а средняя линия трапеции равна 15.
  18. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  19. (номер задачи в базе 1017-45)

    		(реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2018 профильная математика основная волна) Окружность высекает на сторонах трапеции ABCD с основаниями AD и BC равные отрезки. Эта окружность пересекает боковую сторону AB в точках K и L. 
а) Докажите, что биссектрисы углов трапеции пересекаются в центре этой окружности.
б) Найдите высоту трапеции, если AK=6,AL=10,BL=2.
  20. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)




  21. (номер задачи в базе 1017-34)

    		(Аналог досрочного ЕГЭ 2019 профильная математика) Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Точки M и N – середины сторон AB и CD соответственно. Окружность, проходящая через точки B и С, пересекает отрезки BM и CN в точках P и Q, отличных от концов отрезков, соответственно.
а) Докажите, что точки M, N, P и Q лежат на одной окружности.
б) Найдите QN, если отрезки DP и PC перпендикулярны, 
AB = 26, BC = 4,5, CD = 25, AD = 21,5.
  22. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  23. (номер задачи в базе 1017-13)

    		(реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2015 профильная математика основная волна) К окружности, вписанной в квадрат ABCD,  проведена касательная, которая пересекает стороны AB и AD в точках M и N соответственно.
а) Докажите, что периметр треугольника AMN равен стороне квадрата.
б) Прямая MN пересекает прямую CD в точке P. В каком отношении делит отрезок BC прямая, проходящая через  точку P и центр окружности, если AN:ND=1:2?
  24. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  25. (номер задачи в базе 1017-49)

    	(реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2017 профильная математика основная волна) В трапеции ABCD угол BAD прямой. Окружность, построенная на большем основании AD как на диаметре, пересекает меньшее основание BC в точках C и M.
а) Докажите, что BAM=CAD. 
б) Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке O. Найдите  площадь треугольника AOB, если AB=6, а BC=4BM.
  26. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  27. (номер задачи в базе 1017-60)

    	(реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2021 профильная математика основная волна) 
		Точки A,B,C,D и E лежат на окружности в указанном порядке, причем AE=ED=CD, а прямые AC и BE перпендикулярны. Отрезки AC и BD пересекаются в точке T.
а) Докажите, что прямая EC пересекает отрезок TD в его середине.
б) Найдите площадь треугольника ABT, если BD=6, AE=√6.
  28. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  29. (номер задачи в базе 1017-50)

    	(реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2017 профильная математика основная волна) Окружность, вписанная  в трапецию ABCD, касается ее боковых сторон AB и CD в точках M и N соответственно. Известно, что AM=6MB и 2DN=3CN. 
а) Докажите, что AD=3BC. 
б) Найдите длину отрезка MN, если радиус окружности равен √105.
  30. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  31. (номер задачи в базе 1017-32)

    		(Аналог Статград 2018) Окружность с центром O проходит через вершины B и C большей боковой стороны прямоугольной трапеции ABCD и касается боковой стороны AD в точке T. Точка O лежит внутри трапеции ABCD.
а) Докажите, что угол BOC вдвое больше угла BTC.
б) Найдите расстояние от точки T до прямой BC, если основания трапеции AB и CD 
равны 4 и 9 соответственно.
  32. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  33. (номер задачи в базе 1017-18)

    	(реальная задача 15 (16) ЕГЭ 2015 профильная математика основная волна) Диагонали четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекаются в точке P, причем BC=CD.
а) Докажите, что AD:DC=PD:PC.
б) Найдите расстояние от точки O до прямой CD, где O – центр окружности, вписанной в треугольник BAD, если известно, что BD – диаметр, BD=12 и CDA=75°.
  34. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  35. (номер задачи в базе 1017-21)

    	(Аналог Статград 2018) Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Диаметр CC_1 перпендикулярен стороне AD и пересекает ее в точке M, а диаметр DD_1 перпендикулярен стороне AB и пересекает ее в точке N. 
а) Пусть AA_1 также диаметр окружности. Докажите, что 
DNM=A_1 D_1 D.
б) Найдите углы четырехугольника ABCD, если CDB:ADB=3:8.
  36. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


нижняя шапка