верхняя шапка
MATHM >> ОГЭ >>
Задача 26
картинка

ЗАДАЧА 26
огэ

Задачи разделены на уровни сложности. Задачи из любого уровня вполне реально встретить на настоящем экзамене ЕГЭ, более сложные встретятся если "не повезло".

Сложность 1 (легкие задачи)

  1. В параллелограмме ABCD биссектрисы углов A и B пересекаются в точке K. Сторона BC параллелограмма равна 4, высота KH треугольника ABK равна 3. Найдите площадь параллелограмма ABCD.
  2. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  3.  Окружность, вписанная в треугольник MNK, касается его сторон в точках A, B и C. Найдите углы треугольника MNK, если углы треугольника ABC равны 64°, 66° и 50°.
  4. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  5. Две окружности с центрами O_1 и O_2 и радиусами 10 и 15 касаются друг друга внешним образом и внутренним образом касаются окружности с центром O_3 и радиуса 30. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник O_1 O_2 O_3.
  6. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  7. В прямоугольный треугольник ABC вписана окружность, которая касается гипотенузы AC в точке M. Докажите, что отрезок BM меньше 3r – утроенного радиуса вписанной окружности и найдите длину BM, если это целое число, а r=0,8.
  8. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  9. Квадрат ABCD со стороной a вписан в окружность. Хорда CE пересекает его диагональ BD в точке K. Найдите отношение BK к KE, если ∠BKC=60°.
  10. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  11. В прямоугольном треугольнике ABC с катетами AC=40 и CB=30  проведена высота CD. Затем в треугольнике ACD проведена высота DH. Найдите AH.
  12. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  13. В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N – середины катетов AC и BC соответственно. CH – высота, точка H делит гипотенузу AB в отношении 2:1 считая от вершины A. Пусть Q – точка пересечения прямых MH и CB, а P – точка пересечения прямых HN и AC. Найдите MQ, если MP=10.
  14. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  15. 	Точка K лежит на боковой стороне равнобедренного треугольника ABC с основанием BC=6 и боковой стороной AC=9. Точка K находится на расстоянии 2√2 от стороны BC. Найдите расстояние от K до AC.
  16. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  17. 	Четырехугольник ABCD со сторонами AB=12 и CD= 30 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причем ∠AKB=60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырехугольника.
  18. посмотреть ответ
    посмотреть решение


Сложность 2 (средние по сложности задачи)

  1. Углы при одном основании трапеции равны 39° и 51°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 19 и 17. Найдите основания трапеции.
  2. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  3. Через середину K медианы BM треугольника ABC и вершину A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке P. Найдите отношение площадей треугольников BPK и AKM.
  4. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  5. В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD=20, BC=10.
  6. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  7. В остроугольном треугольнике ABC проведены  высоты AK и CM. Из точки M на сторону BC опущен перпендикуляр ME, а из точки K на сторону AB опущен перпендикуляр KH. Найдите ∠EHB, если ∠CAB=68°.
  8. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  9. На катетах AC и BC прямоугольного треугольника ABC построены квадраты ACC_1 A_1 и BB_1 C_2 C, пересекающиеся с треугольником ABC только по сторонам  AC и BC соответственно. Отрезок AB_1 пересекает катет BC в точке M, отрезок BA_1 пересекает катет AC в точке N, CM=10. Найдите CN.
  10. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  11. Биссектриса AD треугольника ABC пересекает медиану BM в точке K, при этом BD:DC=1:1,5. Найдите отношение площади треугольника ABC к площади треугольника MKA.
  12. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  13. В остроугольном треугольнике ABC проведены  высоты AK и CM. На них из точек M и K опущены перпендикуляры ME и KH соответственно. Найдите ∠OEH, если ∠BCA=65°.
  14. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  15. В прямоугольном треугольнике ABC угол A больше угла B, точки M и N – середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла A пересекает прямую MN в точке L. Найдите cos∠LCB, если cos∠CAB=11/25.
  16. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  17. 	В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 40, а площадь равна 80, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до ее меньшего основания.
  18. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  19. Окружность радиуса R касается луча QP в точке P и пересекает луч QC в точках D и C (QD<QC). Известно, что PD=2√7, DC=16 и QP=6. Найдите радиус окружности R.
  20. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  21. Точка M лежит на стороне AD четырехугольника ABCD. Известно, что MA=MB=MC. Кроме этого, углы A, B и C четырехугольника равны соответственно 79°, 124° и 101°. Найдите длину стороны AD, если BC=10.
  22. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  23. Середина M стороны AD выпуклого четырехугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC=4, а углы B и C четырехугольника равны соответственно 126° и 99°.
  24. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  25. Окружность радиуса R касается луча QP в точке P и пересекает луч QC в точках D и C (QD<QC). Известно, что QD=4, DC=12 и cos⁡∠PQC=1/4. Найдите радиус окружности R.
  26. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  27. Основание AC равнобедренного треугольника равно 12. Окружность радиуса 12 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC
  28. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  29. Точка Q – середина стороны AD четырехугольника ABCD. Известно, что QA=QB=QC=QD и сторона BC=12. Кроме этого, углы B и C четырехугольника равны соответственно 99° и 111°. Найдите AD.
  30. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  31. Окружность радиуса R=(8√15)/15 касается луча MN в точке N и пересекает луч MQ в точках L и Q (ML<MQ). Известно, что ∠M – острый, ML=1 и sin⁡〖∠MQN〗=√15/8. Найдите LQ.
  32. посмотреть ответ
    посмотреть решение


Сложность 3 (более сложные задачи)

  1. В треугольнике ABC медиана AM и биссектриса BL пересекаются в точке K и перпендикулярны. Найти площадь треугольника AKL, если AM=BL=20.
  2. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  3. 	В треугольнике ABC известно что ∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4. Докажите, что 1/BC=1/AC+1/AB. Используя это равенство, найдите BC, если AC=6,1 и AB=7,6. Ответ запишите в виде десятичной дроби и округлите до десятых.
  4. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  5. В остроугольном треугольнике ABC точка O - центр вписанной окружности, K - центр описанной окружности. Найдите ∠AKC, если ∠AOC=120°.
  6. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  7. В треугольнике ABC известно что ∠A=(180°)/7   и ∠B∶∠C=2∶4. Проведена BK – биссектриса угла B. Докажите, что AB=BK+BC, и найдите AB, если BK=5,5, BC=4,4.
  8. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  9. На катетах AC и BC прямоугольного треугольника ABC как на диаметрах построены окружности, которые второй раз пересекаются в точке M. На меньшей дуге MB взята точка Q. Прямая CQ второй раз пересекает окружность с диаметром AC в точке P. Найдите ∠PMQ.
  10. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  11. Окружности радиусов 45 и 90 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.
  12. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  13. Стороны ромба EFGH являются гипотенузами равнобедренных прямоугольных треугольников EAF, FBG, GCH, HDE, причем все эти треугольники имеют общие внутренние точки с ромбом EFGH. Сумма площадей четырехугольника ABCD и ромба EFGH равна 24. Найдите GH.
  14. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  15. В трапеции ABCD отношение оснований BC:AD=2:3. Через точку O – точку пересечения диагоналей трапеции – проведен отрезок EF, параллельный основаниям, причем точка E лежит на стороне AB, а точка F – на стороне CD. Найдите отношение площадей S_AEFD:S_EBCF.
  16. посмотреть ответ
    посмотреть решение


  17. Окружность, проходящая через вершины B, C и D параллелограмма ABCD,  касается его стороны AD=2√6 в точке D. Пусть K – вторая точка пересечения окружности и стороны AB параллелограмма. Найдите CK, если BK=2.
  18. посмотреть ответ
    посмотреть решение


нижняя шапка