верхняя шапка
MATHM >> ОГЭ >>
Задача 25
картинка

ЗАДАЧА 25
огэ

Задачи разделены на уровни сложности. Задачи из любого уровня вполне реально встретить на настоящем экзамене ЕГЭ, более сложные встретятся если "не повезло".

Сложность 1 (легкие задачи)

  1. На высоте BH треугольника ABC отмечена точка M, причем AM=MC. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
  2. посмотреть решение


  3. На медиане EK треугольника EDF отмечена точка P. Докажите, что если FP=DP, то DE=FE.
  4. посмотреть решение


  5. Докажите, что биссектрисы углов при основании равнобедренного треугольника равны.
  6. посмотреть решение


  7. В некотором треугольнике ABC середины его сторон M, N и K соединены отрезками. Полученный треугольник MNK – равносторонний. Докажите, что ABC – также равносторонний.
  8. посмотреть решение


  9. В равнобокой трапеции ABCD с основанием AD биссектрисы углов B и C пересекают AD в точках P и Q соответственно. Докажите, что BP=CQ.
  10. посмотреть решение


  11. В па¬рал¬ле¬ло¬грам¬ме ABCD точка M – се¬ре¬ди¬на сто¬ро¬ны AB. Известно, что MC=MD. Докажите, что дан¬ный па¬рал¬ле¬ло¬грамм – прямоугольник.
  12. посмотреть решение


  13. В равнобокой трапеции ABCD с большим основанием AD из вершин A и D проведены перпендикуляры к сторонам CD и AB соответственно. Точки P и Q – точки пересечения этих перпендикуляров со сторонами CD и AB соответственно. Докажите, что AP=DQ.
  14. посмотреть решение


  15. Три сто¬ро¬ны па¬рал¬ле¬ло¬грам¬ма равны. Докажите, что отрезок с кон¬ца¬ми в се¬ре¬ди¬нах про¬ти¬во¬по¬лож¬ных сто¬рон па¬рал¬ле¬ло¬грам¬ма равен чет¬вер¬ти его периметра.
  16. посмотреть решение


  17. В равнобедренном треугольнике MNK с основанием MK и внешним углом при вершине K равным 108° проведена биссектриса MD. Докажите, что треугольник MDK – равнобедренный.
  18. посмотреть решение


  19. К двум окружностям с центрами в точках O_1  и O_2 проведены две касательные AB и CD (A,B,C,D – точки касания). При этом центры окружностей O_1  и O_2 лежат в разных полуплоскостях и относительно прямой AB и относительно прямой CD. Докажите, что AB=CD.
  20. посмотреть решение


  21. В треугольнике ABC точки M,N и K – середины соответствующих сторон. Точки P,Q и R – середины  соответствующих сторон треугольника MNK. Докажите что треугольник RPQ подобен треугольнику  ABC.
  22. посмотреть решение


  23. Две окружности разного радиуса имеют общий центр – точку O. Прямая  пересекает обе окружности (одну в точках A и B, вторую в точках C и D) и не проходит через O. Известно, что длина AD больше длины AC. Докажите, что AC=BD.
  24. посмотреть решение


  25. Две окружности разного радиуса имеют общий центр – точку O. Прямая b пересекает большую окружность в точках A и B и касается меньшей в точке C. Докажите, что ∠AOC=∠BOC.
  26. посмотреть решение


  27. 	Две окружности с центрами в точках O_1  и O_2, радиусов R_1  и R_2 не имеют общих точек. Внут¬рен¬няя общая ка¬са¬тель¬ная к этим окруж¬но-стям пересекает отрезок O_1 O_2 в точке M. Докажите, что (O_1 M)/(O_2 M)=R_1/R_2 .
  28. посмотреть решение


  29. Основания AD и BC трапеции ABCD равны 32 и 2 соответственно. Диагональ BD=8. Докажите, что треугольники ABD и DCB  – подобны.
  30. посмотреть решение


  31. Докажите, что отрезок, со¬еди¬ня¬ю¬щий се¬ре¬ди¬ны ос¬но¬ва¬ний трапеции, делит её на две части, рав¬ные по пло¬ща¬ди.
  32. посмотреть решение


  33. Биссектрисы углов B и C параллелограмма ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне AD. Докажите, что точка M – середина AD.
  34. посмотреть решение


Сложность 2 (средние по сложности задачи)

  1. В параллелограмме ABCD точка M – середина стороны AB, а N – середина CD. Известно, что MN⊥CD. Докажите, что данный параллелограмм –прямоугольник.
  2. посмотреть решение


  3. Середины сто¬рон некоторого па¬рал¬ле¬ло¬грам¬ма яв¬ля¬ют¬ся вер¬ши¬на¬ми ромба. Докажите, что параллелограмм является прямоугольником.
  4. посмотреть решение


  5. Докажите, что биссектрисы углов прямоугольника при пересечении образуют квадрат.
  6. посмотреть решение


  7. Две окружности с центрами в точках O_1 и O_2 пересекаются в точках A и B, причем точки O_1 и O_2 лежат по разные стороны от прямой AB. Докажите, что прямые O_1 O_2 и AB перпендикулярны.
  8. посмотреть решение


  9. Треугольник PQR вписан в окружность с центром в точке O. Биссектриса угла P пересекается с окружностью, описанной вокруг PQR, в точке M. Докажите что MQ=MR.
  10. посмотреть решение


  11. Внутри параллелограмма ABCD взята некоторая точка M. Докажите, что сумма площадей треугольников AMB и CMD равна сумме площадей треугольников BMC и AMD.
  12. посмотреть решение


  13. Высоты AA_1 и BB_1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке M. Докажите, что треугольники AMB и B_1 MA_1 подобны.
  14. посмотреть решение


  15. В па¬рал¬ле¬ло¬грам¬ме про¬ве¬де¬ны бис¬сек¬три¬сы двух про¬ти¬во¬по¬лож¬ных углов. Докажите, что от¬рез¬ки биссектрис, за¬клю¬чен¬ные внут¬ри параллелограмма, равны.
  16. посмотреть решение


  17. Первая прямая пересекает окружность в двух точках A и B. Вторая прямая, параллельная первой, пересекает эту же окружность в точках C и D. Известно, что AC>AD. Докажите, что AD=BC.
  18. посмотреть решение


  19. Сторона CD па¬рал¬ле¬ло¬грам¬ма ABCD равна 8, а сторона BC=12. Точка K делит сторону BC параллелограмма ABCD в отношении 2∶1 считая от вершины B. Докажите, что AK  – бис¬сек¬три¬са угла BAD.
  20. посмотреть решение


  21. Дан пра¬виль¬ный ше¬сти¬уголь¬ник. До¬ка¬жи¬те, что если его вер¬ши¬ны  со¬еди-нить последователь¬но от¬рез¬ка¬ми через одну, то по¬лу¬чит¬ся равносторон-ний тре¬уголь¬ник.
  22. посмотреть решение


  23. В треугольнике ABC со стороной AB=26 проведена медиана BK=24, при этом AC=20. Докажите, что треугольник ABC – равнобедренный.
  24. посмотреть решение


  25. Два равносторонних треугольника  ACO и BOD имеют общую вершину O (см. рисунок). Докажите, что отрезки AD и CB равны.
  26. посмотреть решение


  27. На гипотенузе AC прямоугольного треугольника ABC выбрана точка M так, что AM=6 и MC=8. Катет BC=11,2. Докажите, что точка M равноудалена от обоих катетов треугольника ABC.
  28. посмотреть решение


  29. В трапеции ABCD боковая сторона AB=8√3, CD=8 и разность оснований равна 16. Докажите, что прямая AB перпендикулярна прямой DC.
  30. посмотреть решение


  31. AE – диаметр окружности с центром в точке O. Некоторая прямая a проходит через точку O и составляет 60° градусов с AE. На этой прямой a по одну сторону от точки O взяты точки B и D так, что BO>DO и BD=AO. Докажите что BO∙DO=AD^2-AO^2.
  32. посмотреть решение


Сложность 3 (более сложные задачи)

  1. В треугольнике ABC с тупым углом ACB проведены высоты AA_1 и BB_1. Докажите, что углы BA_1 B_1 и BAC равны.
  2. посмотреть решение


  3. В выпуклом четырехугольнике ABCD углы ABD и ACD равны. Докажите, что углы BAC и BDC также равны.
  4. посмотреть решение


  5. Высоты AA_1 и BB_1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке M. Докажите, что углы BAA_1 и BB_1 A_1 равны.
  6. посмотреть решение


  7. Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. BD – биссектриса угла B, луч BD пересекается с окружностью, описанной вокруг ABC, в точке M. Докажите что OM⊥AC.
  8. посмотреть решение


  9. Дан правильный десятиугольник. До¬ка¬жи¬те, что если по¬сле¬до¬ва¬тель¬но со-еди¬нить от¬рез¬ка¬ми се¬ре¬ди¬ны его сто¬рон, то также по¬лу¬чит¬ся пра¬виль¬ный десятиугольник.
  10. посмотреть решение


  11. Дан правильный 12-угольник A_1 A_2…A_12. До¬ка¬жи¬те, что если по¬сле-до¬ва¬тель¬но со¬еди¬нить вершины с нечетными индексами (A_1 с A_3, A_3 с A_5 и т.д.), то получится правильный шестиугольник.
  12. посмотреть решение


  13. Диа¬го¬на¬ли трапеции ABCD равны a и b, а сумма оснований равна c. Докажите, что S_ABCD=2√(p(p-a)(p-b)(p-c) ), где p=1/2 (a+b+c).
  14. посмотреть решение


  15. 	Две окружности радиусов r и  R (r<R) касаются друг друга и сторон угла, равного 60°. Докажите, что R=3r.
  16. посмотреть решение


  17. В ост¬ро¬уголь¬ном тре¬уголь¬ни¬ке ACB четыре точки: A, C, центр опи¬сан¬ной и центр впи¬сан¬ной окруж¬но¬стей лежат на одной общей окружности. Докажите, что ∠ABC=60°.
  18. посмотреть решение


нижняя шапка