верхняя шапка
help
реклама
MATHM >> ЕГЭ >> ЕГЭ профиль >>
задача 14
картинка

ЗАДАЧА 14
сортировка
по сложности
ЗАДАЧА 14
сортировка
по темам

ЗАДАЧА 14
егэ профиль
сортировка по темам

СПИСОК ТЕМ
Тема 1: Реальные задачи ЕГЭ последних лет
Тема 2: Углы между прямыми и углы между плоскостями
Тема 3: Расстояние от точки до прямой и до плоскости
Тема 4: Расстояние между прямыми
Тема 5: Сечения и их площадь
Тема 6: Объемы многогранников

Задачи разделены на темы. Задачи из любой темы вполне реально встретить на настоящем экзамене ЕГЭ. Внутри каждой темы задачи мы постарались расположить по возрастанию сложности.

Тема 1: Реальные задачи ЕГЭ последних лет

  1. (номер задачи в базе 1014-54)

    (реальная задача 13 (14) ЕГЭ 2023 основная волна) (Аналог ЕГЭ 2023 основная волна) Основанием прямой призмы ABCDA_1 B_1 C_1 D_1 является параллелограмм. На ребрах A_1 B_1, B_1 C_1 и BC отмечены точки M, K и N соответственно, причем B_1 K∶ KC_1 = 1∶ 2, а AMKN – равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 3. а) Докажите, что точка N – середина ребра BC. б) Найдите площадь трапеции 𝐴𝑀𝐾𝑁, если объем призмы ABCDA_1 B_1 C_1 D_1 равен 12, а ее высота равна 2.
    2. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)




  2. (номер задачи в базе 1014-55)

    (реальная задача 13 (14) ЕГЭ 2023 основная волна) (Аналог ЕГЭ 2023 основная волна) В основании прямой призмы ABCDA_1 B_1 C_1 D_1 лежит равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD=5 и BC=3. Точка 𝑀 делит ребро A_1 D_1 в отношении A_1 M∶MD_1=2∶3, а точка К – середина ребра DD_1. a) Докажите, что плоскость MKC параллельна прямой BD. б) Найти тангенс угла между плоскостью MKC и плоскостью основания призмы, если ∠CKM=90°, а ∠ADC=60°.
    3. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  3. (номер задачи в базе 1014-52)

    (реальная задача 13 (14) ЕГЭ 2023 досрочная волна) (Аналог досрочного ЕГЭ 2023) В тетраэдре ABCD на ребре AC выбрана точка K так, что AK∶KC = 3∶7. Также на ребрах AD,BD и BC выбраны точки L,M и N соответственно так, что KLMN – квадрат со стороной 3. а) Докажите, что ребра AB и CD взаимно перпендикулярны. б) Найдите расстояние от точки B до плоскости KLMN, если объем тетраэдра ABCD равен 100.
    4. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  4. (номер задачи в базе 1014-53)

    (реальная задача 13 (14) ЕГЭ 2023 досрочная волна) (Аналог досрочного ЕГЭ 2023) Дан тетраэдр ABCD. На ребре AC выбрана точка K так, что AK∶KC = 3∶7. Также на ребрах AD,BD и BC выбраны точки L,M и N соответственно так, что KLMN — квадрат со стороной 2. a) Докажите, что BM :MD = 3∶7. б) Найдите расстояние от точки C до плоскости KLMN, если известно, что объем пирамиды CKLM равен 50.
    5. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  5. (номер задачи в базе 1014-48)

    (реальная задача 13 (14) ЕГЭ 2022 основная волна) Дан правильный треугольник ABC. Точка D лежит вне плоскости ABC, cos⁡〖∠BAD〗=cos⁡〖∠DAC〗=0,3. а) Докажите, что прямые BC и AD перпендикулярны. б) Найдите расстояние между прямыми BC и AD, если AC = 6.
    6. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  6. (номер задачи в базе 1014-49)

    (реальная задача 13 (14) ЕГЭ 2022 основная волна) В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1 B_1 C_1 D_1 на диагонали BD_1 отмечена точка N так, что BN:ND_1=1:2. Точка O – середина отрезка CB_1. а) Докажите, что прямая NO проходит через точку A. б) Найдите объём параллелепипеда ABCDA_1 B_1 C_1 D_1, если длина отрезка NO равна расстоянию между прямыми BD_1 и CB_1 и равна √2.
    7. посмотреть ответ
    посмотреть решение 1 а)
    посмотреть решение б)

    посмотреть решение 2 а)


  7. (номер задачи в базе 1014-50)

    (реальная задача 13 (14) ЕГЭ 2022 основная волна) Точка O – точка пересечения диагоналей грани CDD_1 C_1 куба ABCDA_1 B_1 C_1 D_1. Плоскость DA_1 C_1 пересекает диагональ BD_1 в точке F. а) Докажите, что BF:FD_1=A_1 F:FO. б) Точки M и N - середины ребер AB и AA_1 соответственно. Найдите угол между прямой MN и плоскостью DA_1 C_1.
    8. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение 1 б)

    посмотреть решение 2 б)


  8. (номер задачи в базе 1014-51)

    (реальная задача 13 (14) ЕГЭ 2022 основная волна) Точка M – середина ребра AA_1 треугольной призмы ABCA_1 B_1 C_1, в основании которой лежит треугольник ABC. Плоскость α проходит через точки B и B_1 перпендикулярно прямой C_1 M. а) Докажите, что одна из диагоналей грани ACA_1 C_1 равна одному из ребер этой грани. б) Найдите расстояние от точки C до плоскости α, если плоскость α делит ребро AC в отношении 1:5, считая от вершины A, при этом AC=20, AA_1=32.
    9. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  9. (номер задачи в базе 1014-45)

    (реальная задача 13 (14) ЕГЭ 2022 основная волна) В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с большим основанием AD. Диагонали трапеции пересекаются в точке O. Точки M и N – середины боковых сторон AB и CD соответственно. Плоскость α проходит через точки M и N параллельно прямой SO. а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью α является трапецией. б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью α, если AD=7, BC=5, SO=14, а прямая SO перпендикулярна прямой AD.
    10. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  10. (номер задачи в базе 1014-46)

    (реальная задача 13 (14) ЕГЭ 2022 основная волна) В кубе ABCDA_1 B_1 C_1 D_1 точки M и N являются серединами ребер AB и AD соответственно. а) Докажите, что прямые B_1 N и CM перпендикулярны. б) Найдите расстояние между этими прямыми, если B_1 N=3√5.
    11. посмотреть ответ
    посмотреть решение 1 а)
    посмотреть решение 1 б)

    посмотреть решение 2 а)
    посмотреть решение 2 б)


  11. (номер задачи в базе 1014-47)

    (реальная задача 13 (14) ЕГЭ 2022 основная волна) В кубе ABCDA_1 B_1 C_1 D_1 точки M и N являются серединами ребер AB и AD соответственно. а) Докажите, что прямые B_1 N и CM перпендикулярны. б) Плоскость α проходит через точки N и B_1 параллельно прямой CM. Найдите расстояние от точки C до плоскости α, если B_1 N=6.
    12. посмотреть ответ
    посмотреть решение 1 а)
    посмотреть решение 1 б)

    посмотреть решение 2 а)
    посмотреть решение 2 б)




  12. (номер задачи в базе 1014-40)

    (реальная задача 13 (14) ЕГЭ 2021 основная волна) В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания AD равна 10, высота SH равна 12. Точка K – середина бокового ребра SD. Плоскость AKB пересекает боковое ребро SC в точке P. А) Докажите, что площадь четырехугольника CDKP составляет 3/4 площади треугольника SCD. Б) Найдите объем пирамиды ACDKP.
    13. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  13. (номер задачи в базе 1014-41)

    (реальная задача 13 (14) ЕГЭ 2021 основная волна) Дана правильная треугольная пирамида SABC, сторона основания AB = 16, высота SH = 10, точка K – середина бокового ребра AS. Плоскость, проходящая через точку K и параллельная основанию пирамиды, пересекает ребра SB и SC в точках Q и P соответственно. а) Докажите, что площадь четырехугольника PQCB относится к площади треугольника BSC как 3: 4. б) Найдите объем пирамиды KBQPC.
    14. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  14. (номер задачи в базе 1014-42)

    (реальная задача 13 (14) ЕГЭ 2021 основная волна) Дана правильная треугольная пирамида SABC, AB = 24, высота SH, проведённая к основанию, равна 14, точка K – середина AS, точка N – середина BC. Плоскость, проходящая через точку K и параллельная основанию пирамиды, пересекает ребра SB и SC в точках Q и P соответственно. а) Докажите, что PQ проходит через середину отрезка SN. б) Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью APQ.
    15. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  15. (номер задачи в базе 1014-43)

    (реальная задача 13 (14) ЕГЭ 2021 основная волна) В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания AD = 14, высота SH = 24. Точка K – середина бокового ребра SD, а точка N – середина ребра CD. Плоскость ABK пересекает боковое ребро SC в точке P. а) Докажите, что прямая KP пересекает отрезок SN в его середине. б) Найдите расстояние от точки P до плоскости ABS.
    16. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  16. (номер задачи в базе 1014-44)

    (реальная задача 13 (14) ЕГЭ 2021 основная волна) В основании правильной треугольной призмы ABCA_1 B_1 C_1 лежит треугольник ABC. На прямой AA_1 отмечена точка D так, что точка A_1 – середина отрезка AD. На прямой B_1 C_1 отмечена точка E, так что точка C_1 – середина отрезка B_1 E. а) Докажите, что прямые A_1 B_1 и DE перпендикулярны. б) Найдите расстояние между прямыми AB и DE, если AB = 3, а AA_1 = 1.
    17. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  17. (номер задачи в базе 1014-33)

    (реальная задача 13 (14) ЕГЭ 2020 основная волна) В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 4, а боковое ребро SA равно 7. На ребрах DC и SC отмечены точки N и K соответственно, причем DN:NC=SK:KC=1:3. Плоскость α содержит прямую KN и параллельна прямой BC. А) Докажите, что плоскость α параллельна прямой SA. Б) Найдите угол между плоскостями α и SBC.
    18. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  18. (номер задачи в базе 1014-34)

    (реальная задача 13 (14) ЕГЭ 2020 основная волна) В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания AB равна 7, а боковое ребро SA равно 10. На ребрах BC и SC отмечены точки M и K соответственно, причем BM=4,SK=7. А) Докажите, что плоскость MKD перпендикулярна плоскости ABC. Б) Найдите объем пирамиды CDKM.
    19. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  19. (номер задачи в базе 1014-35)

    (реальная задача 13 (14) ЕГЭ 2020 основная волна) В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 8, а боковое ребро SA равно 7. На ребрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причем AM=2,SK=1. А) Докажите, что плоскость CKM перпендикулярна плоскости ABC. Б) Найдите объем пирамиды BCKM.
    20. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  20. (номер задачи в базе 1014-36)

    (реальная задача 13 (14) ЕГЭ 2020 основная волна) В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 9, а боковое ребро SA равно √43. На ребрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причем AM=8,SK:KB=7:3. Плоскость α перпендикулярна плоскости ABC и содержит точки M и K. А) Докажите, что плоскость α содержит точку C. Б) Найдите площадь сечения пирамиды SABC плоскостью α.
    21. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  21. (номер задачи в базе 1014-37)

    (реальная задача 13 (14) ЕГЭ 2020 основная волна) В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC боковое ребро SA равно 8. Точки M и N – середины AB и SC соответственно, причем MN=5. А) Докажите, что проекции отрезков SA и MN на плоскость ABC равны. Б) Найдите объем пирамиды SABC.
    22. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)




  22. (номер задачи в базе 1014-38)

    (реальная задача 13 (14) ЕГЭ 2020 основная волна) В правильной треугольной призме ABCA_1 B_1 C_1 сторона AB основания равна 8, а боковое ребро AA_1 равно 7. На ребре CC_1 отмечена точка M, причем CM=1. А) Точки O и O_1 – центры окружностей, описанных около треугольников ABC и A_1 B_1 C_1 соответственно. Докажите, что прямая OO_1 содержит точку пересечения медиан треугольника ABM. Б) Найдите расстояние от точки A_1 до плоскости ABM.
    23. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  23. (номер задачи в базе 1014-39)

    (реальная задача 13 (14) ЕГЭ 2020 основная волна) В правильной треугольной пирамиде SABC на ребрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причем AM=4,MB=2 и SK:KB=1:3. Боковое ребро SA=√21. А) Докажите, что плоскость MCK перпендикулярна плоскости ABC. Б) Найдите объем пирамиды CKMB.
    24. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  24. (номер задачи в базе 1014-16)

    (реальная задача 13 (14) досрочного ЕГЭ 2019 резервный день) Радиус основания конуса с вершиной S и центром основания O равен 5, а его высота равна √51. Точка M – середина образующей SA конуса, а точки N и B лежат на основании конуса, причем прямая MN параллельна образующей конуса SB. А) Докажите, что угол ANO – прямой. Б) Найдите угол между прямой BM и плоскостью основания конуса, если AB=8.
    25. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  25. (номер задачи в базе 1014-17)

    (Аналог досрочного ЕГЭ 2019) Дана пирамида SABD, в которой SC=SB=AB=AC=√17, а также SA=BC=2√3. А) Докажите, что ребро SA перпендикулярно ребру BC. Б) Найдите расстояние между ребрами BC и SA.
    26. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  26. (номер задачи в базе 1014-28)

    (реальная задача 13 (14) ЕГЭ 2019 основная волна) В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB=12, а боковое ребро SA=10. На ребрах AB и SC отмечены точки K и M соответственно, причем AK:KB=SM:MC=5:1. Плоскость α содержит прямую KM и параллельна прямой SA. А) Докажите, что сечение пирамиды SABC плоскостью α – прямоугольник. Б) Найдите объем пирамиды, вершиной которой является точка A, а основанием – сечение пирамиды SABC плоскостью α.
    27. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  27. (номер задачи в базе 1014-29)

    (реальная задача 13 (14) ЕГЭ 2019 основная волна) В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB=12, а боковое ребро SA=14. На ребрах AB и SC отмечены точки K и M соответственно, причем AK:KB=SM:MC=5:1. Плоскость α содержит прямую KM и параллельна прямой BC. А) Докажите, что сечение плоскость α параллельна прямой SA. Б) Найдите угол между плоскостями α и SBC.
    28. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  28. (номер задачи в базе 1014-30)

    (реальная задача 13 (14) ЕГЭ 2019 основная волна) В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB=10, а боковое ребро SA=6. На ребрах AB и SC отмечены точки K и M соответственно, причем AK:KB=SM:MC=1:4. Плоскость α содержит прямую KM и параллельна прямой BC. А) Докажите, что плоскость α делит ребро AC в отношении 1:4, считая от вершины A. Б) Найдите расстояние между прямыми SA и KM.
    29. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  29. (номер задачи в базе 1014-31)

    (реальная задача 13 (14) ЕГЭ 2019 основная волна) В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания AB=8, а боковое ребро SA=10. На ребрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причем DN:NC=SK:KC=1:7. Плоскость α содержит прямую KN и параллельна прямой BC. А) Докажите, что плоскость α делит ребро SB в отношении 1:7, считая от вершины S. Б) Найдите расстояние между прямыми SA и KN.
    30. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  30. (номер задачи в базе 1014-32)

    (реальная задача 13 (14) ЕГЭ 2019 основная волна) В правильной треугольной призме ABCA_1 B_1 C_1 сторона основания равна 2, а боковое ребро равно 6. Точка M – середина ребра A_1 C_1, а точка O – точка пересечения диагоналей боковой грани ABB_1 A_1. А) Докажите, что точка пересечения диагоналей четырехугольника, являющегося сечением призмы ABCA_1 B_1 C_1 плоскостью AMB, лежит на отрезке OC_1. Б) Найдите угол между прямой OC_1 и плоскостью AMB.
    31. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  31. (номер задачи в базе 1014-18)

    (реальная задача 13 (14) ЕГЭ 2018 основная волна) В цилиндре на окружности нижнего основания отмечены точки A и B, на окружности верхнего основания отмечены точки B_1 и C_1 так, что BB_1 является образующей, перпендикулярной основаниям, а AC_1 пересекает ось цилиндра. А) Докажите, что прямые AB и B_1 C_1 перпендикулярны. Б) Найдите угол между прямой AC_1 и BB_1, если AB=6, B_1 C_1=8, BB_1=15.
    32. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)




  32. (номер задачи в базе 1014-19)

    (реальная задача 13 (14) ЕГЭ 2018 основная волна) В кубе ABCDA_1 B_1 C_1 D_1 все ребра равны 12. А) Докажите, что угол между прямыми AC и BD_1 равен 90°. Б) Найдите расстояние между прямыми AC и BD_1.
    33. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  33. (номер задачи в базе 1014-20)

    (реальная задача 13 (14) ЕГЭ 2018 основная волна) В кубе ABCDA_1 B_1 C_1 D_1 все ребра равны 12. А) Докажите, что угол между прямыми AC и BC_1 равен 60°. Б) Найдите расстояние между прямыми AC и BA_1.
    34. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  34. (номер задачи в базе 1014-21)

    (реальная задача 13 (14) ЕГЭ 2018 основная волна) В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A, B и C, а на окружности другого основания – точка C_1, причем CC_1 – образующая цилиндра, а AC – диаметр основания. Известно что ∠ACB=30°, AB=2√2 и CC_1=4. А) Докажите, что угол между прямыми AC_1 и BC равен 45°. Б) Найдите объем цилиндра.
    35. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  35. (номер задачи в базе 1014-22)

    (реальная задача 13 (14) ЕГЭ 2018 основная волна) В правильной пирамиде SABC точки M и N – середины ребер AB и BC соответственно. На боковом ребре SA отмечена точка K. Сечение пирамиды плоскостью MNK является четырехугольником, диагонали которого пересекаются в точке Q. А) Докажите, что точка Q лежит на высоте пирамиды. Б) Найдите объем пирамиды QMNB, если AB=12,SK=6 и SA=15.
    36. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  36. (номер задачи в базе 1014-23)

    (реальная задача 13 (14) ЕГЭ 2018 основная волна) В правильной пирамиде SABC точки M и N – середины ребер AB и BC соответственно. На боковом ребре SA отмечена точка K. Сечение пирамиды плоскостью MNK является четырехугольником, диагонали которого пересекаются в точке Q. А) Докажите, что точка Q лежит на высоте пирамиды. Б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью MNK, если AB=SK=3 и SA=4.
    37. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  37. (номер задачи в базе 1014-24)

    (реальная задача 13 (14) досрочного ЕГЭ 2018) В правильной треугольной призме ABCA_1 B_1 C_1 все ребра равны 4. Точка M – середина ребра AA_1. А) Докажите, что прямые MC и C_1 B перпендикулярны. Б) Найдите расстояние между прямыми MC и C_1 B.
    38. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  38. (номер задачи в базе 1014-25)

    (реальная задача 13 (14) досрочного ЕГЭ 2018) На ребре AA_1 правильной четырехугольной призмы ABCDA_1 B_1 C_1 D_1 отмечена точка K, причем AK∶KA_1=1∶3. Через точки K и B проведена плоскость α, параллельная прямой AC и пересекающая ребро DD_1 в точке M. А) Докажите, что точка M – середина ребра DD_1. Б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью α, если AB=10,AA_1=8.
    39. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  39. (номер задачи в базе 1014-6)

    (реальная задача 13 (14) ЕГЭ 2017 основная волна) На ребрах AB и AC некоторой треугольной пирамиды ABCD отмечены точки M и N соответственно, причем AM:MB=AN:NC=2:3. Точки P и Q являются серединами сторон DB и DC соответственно. А) Докажите, что точки P, Q, N, M лежат в одной плоскости. Б) Найдите отношение объемов многогранников, на которые плоскость PQNM разбивает пирамиду.
    40. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  40. (номер задачи в базе 1014-7)

    (реальная задача 13 (14) ЕГЭ 2017 основная волна) На ребре SD правильной четырехугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка M, причем SM:MD=1:4. Точки P и Q – середины ребер AB и CD соответственно. А) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью PQM – равнобедренная трапеция. Б) Найдите отношение объемов многогранников, на которые плоскость PQM разбивает пирамиду.
    41. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  41. (номер задачи в базе 1014-9)

    (реальная задача 13 (14) ЕГЭ 2017 основная волна) Основанием прямой треугольной призмы ABCA_1 B_1 C_1 является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Боковая грань ACC_1 A_1 – квадрат. А) Докажите, что прямые CA_1 и AB_1 перпендикулярны. Б) Найдите расстояние между CA_1 и AB_1, если AC=3, AB=7.
    42. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)




  42. (номер задачи в базе 1014-10)

    (реальная задача 13 (14) ЕГЭ 2017 основная волна) Длина диагонали куба ABCDA_1 B_1 C_1 D_1 равна 3√5. На луче A_1 C отмечена точка P так, что A_1 P=4√5. А) Докажите, что PBDC_1 – правильный тетраэдр. Б) Найдите длину отрезка AP.
    43. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


Тема 2: Углы между прямыми и углы между плоскостями

  1. (номер задачи в базе 1014-18)

    (реальная задача 13 (14) ЕГЭ 2018 основная волна) В цилиндре на окружности нижнего основания отмечены точки A и B, на окружности верхнего основания отмечены точки B_1 и C_1 так, что BB_1 является образующей, перпендикулярной основаниям, а AC_1 пересекает ось цилиндра. А) Докажите, что прямые AB и B_1 C_1 перпендикулярны. Б) Найдите угол между прямой AC_1 и BB_1, если AB=6, B_1 C_1=8, BB_1=15.
    2. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  2. (номер задачи в базе 1014-11)

    (реальная задача 13 (14) Статград 2016) Дана правильная треугольная призма ABCA_1 B_1 C_1, у которой сторона основания равна 2, а боковое ребро равно 3. Через точки A, C_1 и середину T ребра A_1 B_1 проведена плоскость. А) Докажите, что сечение призмы указанной плоскостью является прямоугольным треугольником. Б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью ABC.
    3. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  3. (номер задачи в базе 1014-27)

    В кубе ABCDA_1 B_1 C_1 D_1 точка E - середина ребра AB=√3. Точка K - середина ребра CD. На луче BB_1 взята точка L такая, что LB_1=BB_1. А) Пусть N – точка пересечения плоскости EKL и продолжения ребра CC_1 за точку C_1. Докажите, что CN=BL. Б) Найдите угол между плоскостями ABC и EKL.
    4. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  4. (номер задачи в базе 1014-29)

    (реальная задача 13 (14) ЕГЭ 2019 основная волна) В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB=12, а боковое ребро SA=14. На ребрах AB и SC отмечены точки K и M соответственно, причем AK:KB=SM:MC=5:1. Плоскость α содержит прямую KM и параллельна прямой BC. А) Докажите, что сечение плоскость α параллельна прямой SA. Б) Найдите угол между плоскостями α и SBC.
    5. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  5. (номер задачи в базе 1014-16)

    (реальная задача 13 (14) досрочного ЕГЭ 2019 резервный день) Радиус основания конуса с вершиной S и центром основания O равен 5, а его высота равна √51. Точка M – середина образующей SA конуса, а точки N и B лежат на основании конуса, причем прямая MN параллельна образующей конуса SB. А) Докажите, что угол ANO – прямой. Б) Найдите угол между прямой BM и плоскостью основания конуса, если AB=8.
    6. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  6. (номер задачи в базе 1014-15)

    (реальная задача 13 (14) Статград 2018) На окружности основания конуса с вершиной S отмечены точки A, B и C так, что AB = BC . Медиана AM треугольника ACS пересекает высоту конуса. А) Точка H – середина отрезка AC . Докажите, что угол MHB прямой. Б) Найдите угол между прямыми AM и SB, если AS = 2,AC = √7.
    7. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  7. (номер задачи в базе 1014-33)

    (реальная задача 13 (14) ЕГЭ 2020 основная волна) В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 4, а боковое ребро SA равно 7. На ребрах DC и SC отмечены точки N и K соответственно, причем DN:NC=SK:KC=1:3. Плоскость α содержит прямую KN и параллельна прямой BC. А) Докажите, что плоскость α параллельна прямой SA. Б) Найдите угол между плоскостями α и SBC.
    8. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  8. (номер задачи в базе 1014-12)

    (реальная задача 13 (14) Статград 2017) В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC боковое ребро равно 7, а сторона основания равна 6. На продолжении ребра SA за точку A отмечена точка P, а на продолжении ребра SB за точку B – точка Q, причем AP = BQ = SA. А) Докажите, что прямые PQ и SC перпендикулярны друг другу. Б) Найдите угол между плоскостями ABC и CPQ.
    9. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  9. (номер задачи в базе 1014-32)

    (реальная задача 13 (14) ЕГЭ 2019 основная волна) В правильной треугольной призме ABCA_1 B_1 C_1 сторона основания равна 2, а боковое ребро равно 6. Точка M – середина ребра A_1 C_1, а точка O – точка пересечения диагоналей боковой грани ABB_1 A_1. А) Докажите, что точка пересечения диагоналей четырехугольника, являющегося сечением призмы ABCA_1 B_1 C_1 плоскостью AMB, лежит на отрезке OC_1. Б) Найдите угол между прямой OC_1 и плоскостью AMB.
    10. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)




Тема 3: Расстояние от точки до прямой и до плоскости

  1. (номер задачи в базе 1014-10)

    (реальная задача 13 (14) ЕГЭ 2017 основная волна) Длина диагонали куба ABCDA_1 B_1 C_1 D_1 равна 3√5. На луче A_1 C отмечена точка P так, что A_1 P=4√5. А) Докажите, что PBDC_1 – правильный тетраэдр. Б) Найдите длину отрезка AP.
    2. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  2. (номер задачи в базе 1014-38)

    (реальная задача 13 (14) ЕГЭ 2020 основная волна) В правильной треугольной призме ABCA_1 B_1 C_1 сторона AB основания равна 8, а боковое ребро AA_1 равно 7. На ребре CC_1 отмечена точка M, причем CM=1. А) Точки O и O_1 – центры окружностей, описанных около треугольников ABC и A_1 B_1 C_1 соответственно. Докажите, что прямая OO_1 содержит точку пересечения медиан треугольника ABM. Б) Найдите расстояние от точки A_1 до плоскости ABM.
    3. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  3. (номер задачи в базе 1014-1)

    В кубе ABCDA_1 B_1 C_1 D_1 точка E середина ребра AB=4. Точка K - середина ребра BC. Плоскость α проходит через точки E и K и пересекает ребра A_1 B_1 и B_1 C_1 в точках M и N соответсвенно. Отрезок EM=√17. А) Плоскость α пересевает луч BB_1 в точке L. Докажите что LB_1=BB_1. Б) Найдите расстояние от точки B до плоскости α.
    4. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  4. (номер задачи в базе 1014-4)

    (реальная задача 13 (14) ЕГЭ 2016 основная волна) В правильной четырехугольной призме ABCDA_1 B_1 C_1 D_1 сторона основания BC=4, а боковое ребро BB_1=2√2. На ребре AB отмечена точка K, причем AK=1. Плоскость α проходит через точку K и перпендикулярна прямой BD_1. А) Пусть плоскость α пересекает ребра A_1 B_1 и B_1 C_1 в точках P и L соответственно. Докажите что B_1 L=B_1 P=1. Б) Найдите расстояние от точки B до плоскости α.
    5. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  5. (номер задачи в базе 1014-3)

    (реальная задача 13 (14) ЕГЭ 2016 основная волна) В правильной четырехугольной призме ABCDA_1 B_1 C_1 D_1 сторона основания BC=8, а боковое ребро BB_1=4√2. На ребрах AB и B_1 C_1отмечены точки K и L соответственно, причем AK=B_1 L=2. Плоскость α параллельна прямой AC и содержит точки K и L. А) Докажите, что прямая D_1 B перпендикулярна плоскости α. Б) Найдите расстояние от точки A до плоскости α.
    6. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  6. (номер задачи в базе 1014-8)

    (реальная задача 13 (14) ЕГЭ 2016 основная волна) В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1 B_1 C_1 D_1 известны длины ребер AD=2, AB=3 и AA_1=8. Точка K – середина ребра BB_1, точка M делит ребро DD_1 в отношении 3:5. А) Докажите, что плоскость KCM делит объем ABCDA_1 B_1 C_1 D_1 в отношении 7:9. Б) Найдите расстояние от точки A до плоскости KCM.
    7. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  7. (номер задачи в базе 1014-5)

    (реальная задача 13 (14) ЕГЭ 2016 основная волна) В правильной треугольной призме ABCA_1 B_1 C_1 сторона основания AB=12, а высота призмы равна 2. На ребрах B_1 C_1 и AB отмечены точки P и Q соответственно, причем PC_1=3, а AQ=4. Плоскость A_1 PQ пересекает ребро BC в точке M. А) Докажите, что точка M является серединой ребра BC. Б) Найдите расстояние от точки B_1 до плоскости A_1 PQ.
    8. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)




Тема 4: Расстояние между прямыми

  1. (номер задачи в базе 1014-17)

    (реальная задача 13 (14) досрочного ЕГЭ 2019) Дана пирамида SABD, в которой SC=SB=AB=AC=√17, а также SA=BC=2√3. А) Докажите, что ребро SA перпендикулярно ребру BC. Б) Найдите расстояние между ребрами BC и SA.
    2. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  2. (номер задачи в базе 1014-19)

    (реальная задача 13 (14) ЕГЭ 2018 основная волна) В кубе ABCDA_1 B_1 C_1 D_1 все ребра равны 12. А) Докажите, что угол между прямыми AC и BD_1 равен 90°. Б) Найдите расстояние между прямыми AC и BD_1.
    3. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  3. (номер задачи в базе 1014-20)

    (реальная задача 13 (14) ЕГЭ 2018 основная волна) В кубе ABCDA_1 B_1 C_1 D_1 все ребра равны 12. А) Докажите, что угол между прямыми AC и BC_1 равен 60°. Б) Найдите расстояние между прямыми AC и BA_1.
    4. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  4. (номер задачи в базе 1014-24)

    (реальная задача 13 (14) досрочного ЕГЭ 2018) В правильной треугольной призме ABCA_1 B_1 C_1 все ребра равны 4. Точка M – середина ребра AA_1. А) Докажите, что прямые MC и C_1 B перпендикулярны. Б) Найдите расстояние между прямыми MC и C_1 B.
    5. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  5. (номер задачи в базе 1014-9)

    (реальная задача 13 (14) ЕГЭ 2017 основная волна) Основанием прямой треугольной призмы ABCA_1 B_1 C_1 является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Боковая грань ACC_1 A_1 – квадрат. А) Докажите, что прямые CA_1 и AB_1 перпендикулярны. Б) Найдите расстояние между CA_1 и AB_1, если AC=3, AB=7.
    6. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  6. (номер задачи в базе 1014-30)

    (реальная задача 13 (14) ЕГЭ 2019 основная волна) В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB=10, а боковое ребро SA=6. На ребрах AB и SC отмечены точки K и M соответственно, причем AK:KB=SM:MC=1:4. Плоскость α содержит прямую KM и параллельна прямой BC. А) Докажите, что плоскость α делит ребро AC в отношении 1:4, считая от вершины A. Б) Найдите расстояние между прямыми SA и KM.
    7. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  7. (номер задачи в базе 1014-31)

    (реальная задача 13 (14) ЕГЭ 2019 основная волна) В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания AB=8, а боковое ребро SA=10. На ребрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причем DN:NC=SK:KC=1:7. Плоскость α содержит прямую KN и параллельна прямой BC. А) Докажите, что плоскость α делит ребро SB в отношении 1:7, считая от вершины S. Б) Найдите расстояние между прямыми SA и KN.
    8. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


Тема 5: Сечения и их площадь

  1. (номер задачи в базе 1014-13)

    (реальная задача 13 (14) Статград 2017) В тетраэдре ABCD ребро AD имеет длину 4, в все остальные ребра равны 6. А) Докажите, что прямые AD и BC перпендикулярны. Б) Найдите площадь сечения тетраэдра плоскостью, содержащей прямую BC и перпендикулярной прямой AD.
    2. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  2. (номер задачи в базе 1014-14)

    (реальная задача 13 (14) Статград 2018) Дана правильная четырехугольная пирамида MABCD, все ребра которой равны 12. Точка N – середина бокового ребра MA, точка K делит боковое ребро MB в отношении 2∶1 считая от вершины M . А) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки N и K параллельно прямой AD, является равнобедренной трапецией. Б) Найдите площадь этого сечения.
    3. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  3. (номер задачи в базе 1014-26)

    В кубе ABCDA_1 B_1 C_1 D_1 точка E - середина ребра AB=√3. Точка K - середина ребра CD. На луче BB_1 взята точка L такая, что LB_1=BB_1. А) Пусть N – точка пересечения плоскости EKL и продолжения ребра CC_1 за точку C_1. Докажите, что CN:CC_1=2:1. Б) Найдите площадь сечения куба плоскостью EKL.
    4. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)




  4. (номер задачи в базе 1014-25)

    (реальная задача 13 (14) досрочного ЕГЭ 2018) На ребре AA_1 правильной четырехугольной призмы ABCDA_1 B_1 C_1 D_1 отмечена точка K, причем AK∶KA_1=1∶3. Через точки K и B проведена плоскость α, параллельная прямой AC и пересекающая ребро DD_1 в точке M. А) Докажите, что точка M – середина ребра DD_1. Б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью α, если AB=10,AA_1=8.
    5. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  5. (номер задачи в базе 1014-36)

    (реальная задача 13 (14) ЕГЭ 2020 основная волна) В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 9, а боковое ребро SA равно √43. На ребрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причем AM=8,SK:KB=7:3. Плоскость α перпендикулярна плоскости ABC и содержит точки M и K. А) Докажите, что плоскость α содержит точку C. Б) Найдите площадь сечения пирамиды SABC плоскостью α.
    6. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  6. (номер задачи в базе 1014-23)

    (реальная задача 13 (14) ЕГЭ 2018 основная волна) В правильной пирамиде SABC точки M и N – середины ребер AB и BC соответственно. На боковом ребре SA отмечена точка K. Сечение пирамиды плоскостью MNK является четырехугольником, диагонали которого пересекаются в точке Q. А) Докажите, что точка Q лежит на высоте пирамиды. Б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью MNK, если AB=SK=3 и SA=4.
    7. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  7. (номер задачи в базе 1014-2)

    (реальная задача 13 (14) ЕГЭ 2016 основная волна) В правильной четырехугольной призме ABCDA_1 B_1 C_1 D_1 сторона основания AB=6, а боковое ребро BB_1=4√3. На ребрах AB,A_1 D_1 и C_1 D_1 отмечены точки M,N и K соответственно, причем AM=A_1 N=C_1 K=1. А) Пусть L – точка пересечения плоскости MNK с ребром BC. Докажите, что MNKL – квадрат. Б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MNK.
    8. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


Тема 6: Объемы многогранников

  1. (номер задачи в базе 1014-21)

    (реальная задача 13 (14) ЕГЭ 2018 основная волна) В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A, B и C, а на окружности другого основания – точка C_1, причем CC_1 – образующая цилиндра, а AC – диаметр основания. Известно что ∠ACB=30°, AB=2√2 и CC_1=4. А) Докажите, что угол между прямыми AC_1 и BC равен 45°. Б) Найдите объем цилиндра.
    2. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  2. (номер задачи в базе 1014-37)

    (реальная задача 13 (14) ЕГЭ 2020 основная волна) В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC боковое ребро SA равно 8. Точки M и N – середины AB и SC соответственно, причем MN=5. А) Докажите, что проекции отрезков SA и MN на плоскость ABC равны. Б) Найдите объем пирамиды SABC.
    3. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  3. (номер задачи в базе 1014-39)

    (реальная задача 13 (14) ЕГЭ 2020 основная волна) В правильной треугольной пирамиде SABC на ребрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причем AM=4,MB=2 и SK:KB=1:3. Боковое ребро SA=√21. А) Докажите, что плоскость MCK перпендикулярна плоскости ABC. Б) Найдите объем пирамиды CKMB.
    4. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  4. (номер задачи в базе 1014-34)

    (реальная задача 13 (14) ЕГЭ 2020 основная волна) В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания AB равна 7, а боковое ребро SA равно 10. На ребрах BC и SC отмечены точки M и K соответственно, причем BM=4,SK=7. А) Докажите, что плоскость MKD перпендикулярна плоскости ABC. Б) Найдите объем пирамиды CDKM.
    5. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  5. (номер задачи в базе 1014-35)

    (реальная задача 13 (14) ЕГЭ 2020 основная волна) В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 8, а боковое ребро SA равно 7. На ребрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причем AM=2,SK=1. А) Докажите, что плоскость CKM перпендикулярна плоскости ABC. Б) Найдите объем пирамиды BCKM.
    6. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  6. (номер задачи в базе 1014-6)

    (реальная задача 13 (14) ЕГЭ 2017 основная волна) На ребрах AB и AC некоторой треугольной пирамиды ABCD отмечены точки M и N соответственно, причем AM:MB=AN:NC=2:3. Точки P и Q являются серединами сторон DB и DC соответственно. А) Докажите, что точки P, Q, N, M лежат в одной плоскости. Б) Найдите отношение объемов многогранников, на которые плоскость PQNM разбивает пирамиду.
    7. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)




  7. (номер задачи в базе 1014-7)

    (реальная задача 13 (14) ЕГЭ 2017 основная волна) На ребре SD правильной четырехугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка M, причем SM:MD=1:4. Точки P и Q – середины ребер AB и CD соответственно. А) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью PQM – равнобедренная трапеция. Б) Найдите отношение объемов многогранников, на которые плоскость PQM разбивает пирамиду.
    8. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  8. (номер задачи в базе 1014-28)

    (реальная задача 13 (14) ЕГЭ 2019 основная волна) В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB=12, а боковое ребро SA=10. На ребрах AB и SC отмечены точки K и M соответственно, причем AK:KB=SM:MC=5:1. Плоскость α содержит прямую KM и параллельна прямой SA. А) Докажите, что сечение пирамиды SABC плоскостью α – прямоугольник. Б) Найдите объем пирамиды, вершиной которой является точка A, а основанием – сечение пирамиды SABC плоскостью α.
    9. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  9. (номер задачи в базе 1014-22)

    (реальная задача 13 (14) ЕГЭ 2018 основная волна) В правильной пирамиде SABC точки M и N – середины ребер AB и BC соответственно. На боковом ребре SA отмечена точка K. Сечение пирамиды плоскостью MNK является четырехугольником, диагонали которого пересекаются в точке Q. А) Докажите, что точка Q лежит на высоте пирамиды. Б) Найдите объем пирамиды QMNB, если AB=12,SK=6 и SA=15.
    10. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


нижняя шапка