верхняя шапка
MATHM >> ЕГЭ >> ЕГЭ профиль >>
Задача 14
картинка
ЗАДАЧА 14
сортировка
по сложности
ЗАДАЧА 14
сортировка
по темам

ЗАДАЧА 14
егэ профиль
сортировка по сложности

Сложность 1
Сложность 2

Задачи разделены на уровни сложности. Задачи из любого уровня вполне реально встретить на настоящем экзамене ЕГЭ, более сложные встретятся если "не повезло".

Сложность 1 (легкие задачи)

  1. 	(Реальная задача 14 Статград 2016) Дана правильная треугольная призма ABCA_1 B_1 C_1, у которой сторона основания равна 2, а боковое ребро равно 3. Через точки A, C_1 и середину T ребра A_1 B_1 проведена плоскость. 
А) Докажите, что сечение призмы указанной плоскостью является прямоугольным треугольником.
Б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью ABC.
  2. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  3. 	(Реальная задача 14 ЕГЭ 2018 основная волна) В цилиндре на окружности нижнего основания отмечены точки A и B, на окружности верхнего основания отмечены точки B_1 и C_1 так, что BB_1 является образующей, перпендикулярной основаниям, а AC_1 пересекает ось цилиндра. 
А) Докажите, что прямые AB и B_1 C_1 перпендикулярны. 
Б) Найдите угол между прямой AC_1 и BB_1, если AB=6, B_1 C_1=8, BB_1=15.
  4. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  5. 	(Реальная задача 14 досрочного ЕГЭ 2019)  Дана пирамида SABD, в которой SC=SB=AB=AC=√17, а также SA=BC=2√3. 
А) Докажите, что ребро SA перпендикулярно ребру BC.
Б) Найдите расстояние между ребрами BC и SA.
  6. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  7. 	(Реальная задача 14 ЕГЭ 2018 основная волна)  В кубе ABCDA_1 B_1 C_1 D_1 все ребра равны 12. 
А) Докажите, что угол между прямыми AC и BD_1 равен 90°.
Б) Найдите расстояние между прямыми AC и BD_1.
  8. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  9. 	В кубе ABCDA_1 B_1 C_1 D_1 точка E - середина ребра AB=√3. Точка K - середина ребра CD. На луче BB_1 взята точка L такая, что LB_1=BB_1.
А) Пусть N – точка пересечения плоскости EKL и продолжения ребра CC_1 за точку C_1. Докажите, что CN=BL.
Б) Найдите угол между плоскостями ABC и EKL.
  10. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  11. 	(Реальная задача 14 Статград 2017) В тетраэдре ABCD ребро AD имеет длину 4, в все остальные ребра равны 6. 
А) Докажите, что прямые AD и BC перпендикулярны.
Б) Найдите площадь сечения тетраэдра плоскостью, содержащей прямую BC и перпендикулярной прямой AD.
  12. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  13. 	(Реальная задача 14 ЕГЭ 2018 основная волна)  В кубе ABCDA_1 B_1 C_1 D_1 все ребра равны 12. 
А) Докажите, что угол между прямыми AC и BC_1 равен 60°.
Б) Найдите расстояние между прямыми AC и BA_1.
  14. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  15. 	(Реальная задача 14 ЕГЭ 2019 основная волна) В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB=12, а боковое ребро SA=14. На ребрах AB и SC отмечены точки K и M соответственно, причем AK:KB=SM:MC=5:1. Плоскость α содержит прямую KM и параллельна прямой BC.
А) Докажите, что сечение плоскость α параллельна прямой SA.
Б) Найдите угол между плоскостями α и SBC.
  16. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  17. 	(Реальная задача 14 ЕГЭ 2018 основная волна)  В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A, B и C, а на окружности другого основания – точка C_1, причем CC_1 – образующая цилиндра, а AC – диаметр основания. Известно что ∠ACB=30°, AB=2√2 и CC_1=4. 
А) Докажите, что угол между прямыми AC_1 и BC равен 45°. 
Б) Найдите объем цилиндра.
  18. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  19. 	(Реальная задача 14 Статград 2018) Дана правильная четырехугольная пирамида MABCD, все ребра которой равны 12. Точка N – середина бокового ребра MA, точка K делит боковое ребро MB в отношении 2∶1 считая от вершины M .
А) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки N и K параллельно прямой AD, является равнобедренной трапецией.
Б) Найдите площадь этого сечения.
  20. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  21. 	В кубе ABCDA_1 B_1 C_1 D_1 точка E - середина ребра AB=√3. Точка K - середина ребра CD. На луче BB_1 взята точка L такая, что LB_1=BB_1.
А) Пусть N – точка пересечения плоскости EKL и продолжения ребра CC_1 за точку C_1. Докажите, что CN:CC_1=2:1.
Б) Найдите площадь сечения куба плоскостью EKL.
  22. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  23. 	(Реальная задача 14 Статград 2018) На окружности основания конуса с вершиной S отмечены точки A, B и C так, что AB = BC . Медиана AM треугольника ACS пересекает высоту конуса.
А) Точка H – середина отрезка AC . Докажите, что угол MHB прямой.
Б) Найдите угол между прямыми AM и SB, если AS = 2,AC = √7.
  24. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  25. 	(Реальная задача 14 досрочного ЕГЭ 2019 резервный день)  Радиус основания конуса с вершиной S и центром основания O равен 5, а его высота равна √51. Точка M – середина образующей SA конуса, а точки N и B лежат на основании конуса, причем прямая MN параллельна образующей конуса SB. 
А) Докажите, что угол ANO – прямой. 
Б) Найдите угол между прямой BM и плоскостью основания конуса, если AB=8.
  26. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  27. 	(Реальная задача 14 досрочного ЕГЭ 2018) На ребре AA_1 правильной четырехугольной призмы ABCDA_1 B_1 C_1 D_1 отмечена точка K, причем AK∶KA_1=1∶3. Через точки K и B проведена плоскость α, параллельная прямой AC и пересекающая ребро DD_1  в точке M.
А) Докажите, что точка M – середина ребра DD_1.
Б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью α, если AB=10,AA_1=8.
  28. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  29. 	(Реальная задача 14 ЕГЭ 2017 основная волна) Длина диагонали куба ABCDA_1 B_1 C_1 D_1 равна 3√5. На луче A_1 C отмечена точка  P так, что A_1 P=4√5.
А) Докажите, что PBDC_1 – правильный тетраэдр.
Б) Найдите длину отрезка AP.
  30. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


Сложность 2 (средние по сложности задачи)

  1. 	(Реальная задача 14 ЕГЭ 2018 основная волна) В правильной пирамиде SABC точки M и N – середины ребер AB и BC соответственно. На боковом ребре SA отмечена точка K. Сечение пирамиды плоскостью MNK является четырехугольником, диагонали которого пересекаются в точке Q. 
А) Докажите, что точка Q лежит на высоте пирамиды. 
Б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью MNK, 
если AB=SK=3 и SA=4.
  2. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  3. 	(Реальная задача 14 досрочного ЕГЭ 2018) В правильной треугольной призме ABCA_1 B_1 C_1 все ребра равны 4. Точка M – середина ребра AA_1.
А) Докажите, что прямые MC и C_1 B перпендикулярны. 
Б) Найдите расстояние между прямыми MC и C_1 B.
  4. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  5. 	(Реальная задача 14 ЕГЭ 2017 основная волна) На ребре SD правильной четырехугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка M, причем    SM:MD=1:4. Точки P и Q – середины ребер AB и CD соответственно.
А) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью PQM – равнобедренная трапеция.   
Б) Найдите отношение объемов многогранников, на которые плоскость PQM разбивает пирамиду.
  6. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  7. 	(Реальная задача 14 ЕГЭ 2017 основная волна) На ребрах AB и AC некоторой треугольной пирамиды ABCD отмечены точки M и N соответственно, причем AM:MB=AN:NC=2:3. Точки P и Q являются серединами сторон DB и DC соответственно.
А) Докажите, что точки P, Q, N, M лежат в одной плоскости.   
Б) Найдите отношение объемов многогранников, на которые плоскость PQNM разбивает пирамиду.
  8. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  9. 	В кубе ABCDA_1 B_1 C_1 D_1 точка E середина ребра AB=4. Точка K - середина ребра BC. Плоскость α проходит через точки E и K и пересекает ребра A_1 B_1 и B_1 C_1 в точках M и N соответсвенно. Отрезок EM=√17.
А) Плоскость α пересевает луч BB_1 в точке L. Докажите что LB_1=BB_1.
Б) Найдите расстояние от точки B до плоскости α.
  10. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  11. 	(Реальная задача 14 ЕГЭ 2016 основная волна) В правильной четырехугольной призме ABCDA_1 B_1 C_1 D_1 сторона основания AB=6, а боковое ребро BB_1=4√3. На ребрах AB,A_1 D_1  и C_1 D_1 отмечены точки M,N и K соответственно, причем AM=A_1 N=C_1 K=1.
А) Пусть L – точка пересечения плоскости MNK с ребром BC. Докажите, что   MNKL – квадрат.
Б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MNK.
  12. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  13. 	(Реальная задача 14 ЕГЭ 2016 основная волна) В правильной четырехугольной призме ABCDA_1 B_1 C_1 D_1 сторона основания BC=4, а боковое ребро BB_1=2√2. На ребре AB отмечена точка K, причем AK=1. Плоскость α проходит через точку K и перпендикулярна прямой BD_1. 
А) Пусть плоскость α пересекает ребра A_1 B_1 и B_1 C_1 в точках P и L соответственно. Докажите что B_1 L=B_1 P=1.   
Б) Найдите расстояние от точки B до плоскости α.
  14. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  15. 	(Реальная задача 14 ЕГЭ 2017 основная волна) Основанием прямой треугольной призмы ABCA_1 B_1 C_1 является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Боковая грань ACC_1 A_1 – квадрат. 
А) Докажите, что прямые CA_1 и AB_1 перпендикулярны.  
Б) Найдите расстояние между CA_1 и AB_1, если AC=3, AB=7.
  16. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  17. 	(Реальная задача 14 ЕГЭ 2019 основная волна) В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB=12, а боковое ребро SA=10. На ребрах AB и SC отмечены точки K и M соответственно, причем AK:KB=SM:MC=5:1. Плоскость α содержит прямую KM и параллельна прямой SA.
А) Докажите, что сечение пирамиды SABC плоскостью α – прямоугольник.
Б) Найдите объем пирамиды, вершиной которой является точка A, а основанием – сечение пирамиды SABC плоскостью α.
  18. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  19. 	(Реальная задача 14 ЕГЭ 2019 основная волна) В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB=10, а боковое ребро SA=6. На ребрах AB и SC отмечены точки K и M соответственно, причем AK:KB=SM:MC=1:4. Плоскость α содержит прямую KM и параллельна прямой BC.
А) Докажите, что плоскость α делит ребро AC в отношении 1:4, считая от вершины A.
Б) Найдите расстояние между прямыми SA и KM.
  20. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  21. 	(Реальная задача 14 ЕГЭ 2019 основная волна) В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания AB=8, а боковое ребро SA=10. На ребрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причем DN:NC=SK:KC=1:7. Плоскость α содержит прямую KN и параллельна прямой BC.
А) Докажите, что плоскость α делит ребро SB в отношении 1:7, считая от вершины S.
Б) Найдите расстояние между прямыми SA и KN.
  22. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  23. 	(Реальная задача 14 ЕГЭ 2018 основная волна) В правильной пирамиде SABC точки M и N – середины ребер AB и BC соответственно. На боковом ребре SA отмечена точка K. Сечение пирамиды плоскостью MNK является четырехугольником, диагонали которого пересекаются в точке Q. 
А) Докажите, что точка Q лежит на высоте пирамиды. 
Б) Найдите объем пирамиды QMNB, если AB=12,SK=6 и SA=15.
  24. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  25. 	(Реальная задача 14 ЕГЭ 2016 основная волна) В правильной четырехугольной призме ABCDA_1 B_1 C_1 D_1 сторона основания BC=8, а боковое ребро BB_1=4√2. На ребрах AB и B_1 C_1отмечены точки K и L соответственно, причем AK=B_1 L=2. Плоскость α параллельна прямой AC и содержит точки K и L.
А) Докажите, что прямая D_1 B перпендикулярна плоскости α. 
Б) Найдите расстояние от точки A до плоскости α.
  26. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  27. 	(Реальная задача 14 ЕГЭ 2016 основная волна) В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1 B_1 C_1 D_1 известны длины ребер AD=2,
AB=3 и AA_1=8. Точка K – середина ребра BB_1, точка M делит ребро DD_1 в отношении 3:5.
А) Докажите, что плоскость KCM делит объем ABCDA_1 B_1 C_1 D_1 в отношении 7:9.
Б) Найдите расстояние от точки A до плоскости KCM.
  28. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  29. 	(Реальная задача 14 Статград 2017) В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC боковое ребро равно 7, а сторона основания равна 6. На продолжении ребра SA за точку A отмечена точка P, а на продолжении ребра SB за точку B – точка Q, причем AP = BQ = SA.
А) Докажите, что прямые PQ и SC перпендикулярны друг другу.
Б) Найдите угол между плоскостями ABC и CPQ.
  30. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  31. 	(Реальная задача 14 ЕГЭ 2019 основная волна) В правильной треугольной призме ABCA_1 B_1 C_1  сторона основания равна 2, а боковое ребро равно 6. Точка M – середина ребра A_1 C_1, а точка O – точка пересечения диагоналей боковой грани ABB_1 A_1.  
А) Докажите, что точка пересечения диагоналей четырехугольника, являющегося сечением призмы ABCA_1 B_1 C_1 плоскостью AMB, лежит на отрезке OC_1. 
Б) Найдите угол между прямой OC_1 и плоскостью AMB.
  32. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


  33. 	(Реальная задача 14 ЕГЭ 2016 основная волна) В правильной треугольной призме ABCA_1 B_1 C_1 сторона основания AB=12,  а высота призмы равна 2. На ребрах B_1 C_1 и AB отмечены точки P и Q соответственно, причем PC_1=3, а AQ=4. Плоскость A_1 PQ пересекает ребро BC в точке M.
А) Докажите, что точка M является серединой ребра BC.   
Б) Найдите расстояние от точки B_1 до плоскости A_1 PQ.
  34. посмотреть ответ
    посмотреть решение а)
    посмотреть решение б)


нижняя шапка